結び目理論の問題

トーラス絡み目 $T(6,9)$ を考える。$T(6,9)$ は 6 本の紐のブレイド群 $B_6$ の元
$$\beta =({\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3{\sigma }_4{\sigma }_5{)}^9$$
の閉包として得られる。ここで ${\sigma }_i$ は $i$ 番目と $i+1$ 番目の紐の交差であり、閉包の各成分にはブレイドの進む向きに沿った向きを入れる。この向きのもとで、${\sigma }_i$ に対応する交点はすべて正の交点（符号 $+1$）であるとする。

$T(6,9)$ の成分の個数を $\mu$ とし、成分を $L_1,\dots ,L_{\mu }$ とするとき、すべての成分の対についての絡み数の和
$$\sum _{1\le i<j\le \mu }\mathrm{lk}(L_i,L_j)$$
を求めよ。

5 本の紐のブレイド群 $B_5$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4$ とする。${\sigma }_i$ は $i$ 番目の位置の紐と $i+1$ 番目の位置の紐が交差する 1 つの交点を表し、閉包の各紐にブレイドの進む向きに沿って向きを入れたとき、${\sigma }_i$ の交点の符号は $+1$、${\sigma }_i^{-1}$ の交点の符号は $-1$ とする。ブレイドの語は左から右へ順に読む。

ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_3^2{\sigma }_2^{-1}{\sigma }_4^4{\sigma }_2^{-1}{\sigma }_3^{-3}\in B_5$$
の閉包 $\hat{\beta }$ を、上と同じ向きを入れた有向絡み目とする。$\hat{\beta }$ の成分の個数を $\mu$、$\hat{\beta }$ の相異なる 2 成分 $K_i,K_j$ $(i<j)$ のすべての組についての絡み数の和を
$$\Lambda =\sum _{i<j}\mathrm{lk}(K_i,K_j)$$
とする。組 $(\mu ,\Lambda )$ をこの順に求めよ。

$n\ge 2$ を整数とし、$n$ 本のひものブレイド群 $B_n$ を、生成元 ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_{n-1}$ と関係式
$${\sigma }_i{\sigma }_j={\sigma }_j{\sigma }_i(|i-j|\ge 2),{\sigma }_i{\sigma }_{i+1}{\sigma }_i={\sigma }_{i+1}{\sigma }_i{\sigma }_{i+1}(1\le i\le n-2)$$
によるアルティンの表示で定める。${\sigma }_i^{\pm 1}$ は、位置 $i$ と位置 $i+1$ のひもが $1$ 回交差する初等ブレイドを表す（${\sigma }_i$ と ${\sigma }_i^{-1}$ は交差の上下が逆）。

${\sigma }_1^{\pm 1},\dots ,{\sigma }_{n-1}^{\pm 1}$ からなる語 $w={\sigma }_{i_1}^{{\epsilon }_1}{\sigma }_{i_2}^{{\epsilon }_2}\cdots {\sigma }_{i_m}^{{\epsilon }_m}$（$m\ge 0$, ${\epsilon }_k\in \{1,-1\}$）に対し、その指数和を $e(w)={\sum }_{k=1}^m{\epsilon }_k$ とする。また、$w$ の文字を上から順に初等ブレイドとして並べたブレイドの図式で、上端の位置 $j$ の端点と下端の位置 $j$ の端点（$j=1,\dots ,n$）を互いに交わらない弧で結んで得られる絡み目の図式を、$w$ の閉包図式とよぶ。

語 $w$ の閉包図式が結び目（$1$ 成分の絡み目）を表すとする。このとき、$B_n$ において $w$ と同じ元を表す任意の語 $w^{\prime }$ に対して $e(w^{\prime })\equiv n-1(\mathrm{mod}2)$ であることを証明せよ。

${\mathbb{C}}^2$ の単位球面 $S^3=\{(z,w)\in {\mathbb{C}}^2:|z{|}^2+|w{|}^2=1\}$ を考える。$S^3$ には、${\mathbb{C}}^2={\mathbb{R}}^4$ の向き $(\mathrm{Re}z,\mathrm{Im}z,\mathrm{Re}w,\mathrm{Im}w)$ から定まる単位球体の境界としての向きを入れる。

$p,q$ を互いに素な $2$ 以上の整数とし、円周 $S^1=\{t\in \mathbb{C}:|t|=1\}$ の $S^3$ への作用を
$$t\cdot (z,w)=(t^{p}z,t^{q}w)$$
で定める。

• $C_1=\{w=0\}\cap S^3$ と $C_2=\{z=0\}\cap S^3$ はそれぞれ 1 つの軌道であり、$C_1$ は $\arg z$ が増える向き、$C_2$ は $\arg w$ が増える向きに向き付ける。この向きの約束のもとで $\mathrm{lk}(C_1,C_2)=+1$ である。
• $zw\ne 0$ を満たす点の軌道を一般軌道とよぶ。一般軌道は $t=e^{i\theta }$ で $\theta$ を $0$ から $2\pi$ まで動かすと単純閉曲線を 1 周する。一般軌道は $\theta$ が増える向きに向き付ける。

$n$ を正の整数とし、相異なる $n$ 個の一般軌道 $K_1,\dots ,K_n$ をとる。$S^3$ 内の $(n+2)$ 成分の向き付けられた絡み目
$$L=C_1\cup C_2\cup K_1\cup \cdots \cup K_n$$
について、相異なる 2 成分のすべての組（$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{2}\right)$ 組）にわたる絡み数の総和
$$\Lambda =\sum _{\{X,Y\}}\mathrm{lk}(X,Y)$$
を $p,q,n$ の式で求めよ。

3 本の紐のブレイド群 $B_3$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ とする。$n$ を正の整数とし、ブレイド
$${\beta }_n=({\sigma }_1{\sigma }_2^{-1}{)}^n\in B_3$$
の閉包として得られる（向き付けられた）絡み目を $L_n$ とする（例えば $L_2$ は $4_1$、$L_3$ はボロミアン環である）。

絡み目 $L$ の行列式を $\det (L)=|{\Delta }_L(-1)|$ で定める。ここで ${\Delta }_L(t)$ は $L$ の 1 変数アレクサンダー多項式（単数 $\pm t^k$ 倍の差を除いて定まる）である。

次の事実を用いてよい。$B_3$ の被約ビュラウ表現 $\psi :B_3\to G{L}_2(\mathbb{Z}[t,t^{-1}])$ は
$$\psi ({\sigma }_1)=\left(\begin{array}{cc}-t& 1\\ 0& 1\end{array}\right),\psi ({\sigma }_2)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ t& -t\end{array}\right)$$
で与えられ、任意の $\beta \in B_3$ に対してその閉包 $\hat{\beta }$ について
$$(1+t+t^2){\Delta }_{\hat{\beta }}(t)\doteq \det (I-\psi (\beta ))$$
（$\doteq$ は単数 $\pm t^k$ 倍の差を除いて等しいことを表す）が成り立つ。

$\det (L_n)$ を $n$ の式で表せ。