結び目理論の問題

準備（トーラス分解） $0<a<1$, $b=\sqrt{1-a^2}$ とし、トーラス $T_a=\{|z|=a,|w|=b\}$ を考える。$T_a$ は $S^3$ を 2 つのソリッドトーラス
$$V_1=\{|z|\ge a\}(\text{芯 }{C}_1),V_2=\{|z|\le a\}(\text{芯 }{C}_2)$$
に分ける。$T_a$ 上の 2 つの閉曲線を、$z_0,w_0$（$|z_0|=a$, $|w_0|=b$）を固定して
$$\lambda =\{(a{e}^{i\theta },w_0)\},\mu =\{(z_0,b{e}^{i\varphi })\}$$
とし、それぞれ $\arg z$、$\arg w$ が増える向きに向き付ける。$\lambda ,\mu$ は $H_1(T_a)\cong {\mathbb{Z}}^2$ の基底である。

- $\mu$ は $V_1$ 内の円板 $\{(\sqrt{1-|w{|}^2}{z}_0/a,w):|w|\le b\}$ の境界であり、この円板は $C_2$ と交わらない。よって $\mathrm{lk}(\mu ,C_2)=0$。さらに $s\in [0,1]$ に対する閉曲線の族 $\{(s{z}_0,\sqrt{1-s^2{a}^2}{e}^{i\varphi })\}$ は $|w|>0$ を保つので $C_1$ と交わらず、$\mu$ を $C_2$（$s=0$）に向きを保ってつなぐ。絡み数は相手の成分の補空間でのイソトピーで不変なので
$$\mathrm{lk}(\mu ,C_1)=\mathrm{lk}(C_2,C_1)=1.$$
- $z$ と $w$ の役割を入れ替えた同じ議論により $\mathrm{lk}(\lambda ,C_1)=0$, $\mathrm{lk}(\lambda ,C_2)=\mathrm{lk}(C_1,C_2)=1$。

(1) 一般軌道と $C_1,C_2$ の絡み数 一般軌道 $K$ が点 $(z_0,w_0)$（$|z_0|=a$）を通るとする。$K=\{(e^{ip\theta }{z}_0,e^{iq\theta }{w}_0)\}$ は $T_a$ 上にあり、1 周する間に $\arg z$ が $p$ 回、$\arg w$ が $q$ 回まわる。よって $T_a$ 上で $[K]=p[\lambda ]+q[\mu ]$ である。固定した閉曲線との絡み数は、その補空間でのホモロジー類だけで決まる。$T_a$ は $C_1,C_2$ と交わらないので
$$\mathrm{lk}(K,C_1)=p\cdot 0+q\cdot 1=q,\mathrm{lk}(K,C_2)=p\cdot 1+q\cdot 0=p.$$

(2) 2 つの一般軌道の絡み数 $K\subset T_a$, $K^{\prime }\subset T_{a^{\prime }}$ とする。

まず $a<a^{\prime }$ の場合を考える。$K$ はソリッドトーラス $V_2^{\prime }=\{|z|\le a^{\prime }\}$ の内部にあり、その内部は $K^{\prime }\subset \partial V_2^{\prime }$ と交わらない。$H_1(V_2^{\prime })\cong \mathbb{Z}$ は芯 $C_2$ で生成され、$K$ の類は $K$ に沿った $\arg w$ の回転数 $q$ で決まる。よって $V_2^{\prime }$ の内部で $[K]=q[C_2]$ であり、(1) から
$$\mathrm{lk}(K,K^{\prime })=q\mathrm{lk}(C_2,K^{\prime })=q\cdot p=pq.$$
$a>a^{\prime }$ の場合は、絡み数の対称性から同じ値になる。

次に $a=a^{\prime }$ の場合を考える。$K$ が通る点を $(s{z}_0,\sqrt{1-s^2{a}^2}{w}_0/b)$（$s$ は $1$ から $1$ より少し小さい値まで動かす）の軌道に連続的に取り替える。これらの軌道はすべて一般軌道である。また $s<1$ のとき $|z|=sa\ne a$ なので、$K^{\prime }$ とは交わらない。したがってこれは $K^{\prime }$ の補空間でのイソトピーであり、絡み数は変わらない。こうして $a<a^{\prime }$ の場合に帰着でき、やはり $\mathrm{lk}(K,K^{\prime })=pq$ となる。

(3) 総和 組を種類ごとに数える。
- $\{C_1,C_2\}$：絡み数 $1$。
- $\{K_i,C_1\}$：$n$ 組あり、各 $q$。
- $\{K_i,C_2\}$：$n$ 組あり、各 $p$。
- $\{K_i,K_j\}$：$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)$ 組あり、各 $pq$。

よって
$$\Lambda =\frac{n(n-1)}{2}pq+n(p+q)+1.$$

（確認：$n=1$ のとき $\Lambda =p+q+1$、$p=2,q=3,n=2$ のとき $\Lambda =6+10+1=17$。）

$S^3$ から $C_2=\{z=0\}$ を除いた補空間は、$\arg z$ の座標をもつ円周 $C_1$ に変形レトラクトする。$C_1$ を除いた補空間は、$\arg w$ の座標をもつ円周 $C_2$ に変形レトラクトする。$\mathrm{lk}(C_1,C_2)=+1$ の符号の約束のもとで、閉曲線 $K$ と $C_1$ の絡み数は、$K$ に沿った $\arg w$ の回転数に等しい。同様に、$K$ と $C_2$ の絡み数は $K$ に沿った $\arg z$ の回転数に等しい。

一般軌道 $K_i$ では $\theta :0\to 2\pi$ のとき $\arg z$ は $p$ 回、$\arg w$ は $q$ 回増える。したがって $\mathrm{lk}(K_i,C_1)=q$、$\mathrm{lk}(K_i,C_2)=p$ である。

2 つの一般軌道 $K_i,K_j$ は、トーラス上の $T(p,q)$ 型の平行なファイバーである。その絡み数は $pq$ である。これは $p=q=1$ のとき Hopf ファイバー同士の絡み数 $+1$ と整合する。

よって、組の数を数えて和をとると
$$\Lambda =\mathrm{lk}(C_1,C_2)+\sum _i(\mathrm{lk}(K_i,C_1)+\mathrm{lk}(K_i,C_2))+\sum _{i<j}\mathrm{lk}(K_i,K_j)$$
$$=1+n(p+q)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)pq.$$

検算として $p=q=1$ では、$n+2$ 本の Hopf ファイバーのどの 2 本も絡み数 $+1$ である。このとき $\Lambda =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{2}\right)$ となる。一方、上の式は $1+2n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n^2+3n+2}{2}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{2}\right)$ で一致する。