結び目理論の問題

3 本の紐のブレイド群 $B_3$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ とする。${\sigma }_i$ $(i=1,2)$ は、位置 $i$ にある紐と位置 $i+1$ にある紐の交差 1 つで、閉包にブレイドの進む向き（上から下）の向きを入れたとき正の交差（符号 $+1$）になるものとし、${\sigma }_i^{-1}$ は負の交差（符号 $-1$）とする。語は左から順に上から下へ読む。

ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1{\sigma }_2^2{\sigma }_1{\sigma }_2^{-4}{\sigma }_1^2$$
の閉包を $L$ とし、各紐にブレイドの進む向きに沿って向きを入れる。$L$ は 3 成分の絡み目になる。$j=1,2,3$ に対し、ブレイドの上端で位置 $j$ から出発する紐を含む成分を $K_j$ とする。

絡み数 $\mathrm{lk}(K_a,K_b)$ を、$K_a$ と $K_b$ の間の交差（$K_a$ と $K_b$ の一方が上、他方が下を通る交差）の符号の和の $\frac{1}{2}$ と定める。組
$$(\mathrm{lk}(K_1,K_2),\mathrm{lk}(K_1,K_3),\mathrm{lk}(K_2,K_3))$$
をこの順に求めよ。

トーラス絡み目 $T(6,9)$ を考える。$T(6,9)$ は 6 本の紐のブレイド群 $B_6$ の元
$$\beta =({\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3{\sigma }_4{\sigma }_5{)}^9$$
の閉包として得られる。ここで ${\sigma }_i$ は $i$ 番目と $i+1$ 番目の紐の交差であり、閉包の各成分にはブレイドの進む向きに沿った向きを入れる。この向きのもとで、${\sigma }_i$ に対応する交点はすべて正の交点（符号 $+1$）であるとする。

$T(6,9)$ の成分の個数を $\mu$ とし、成分を $L_1,\dots ,L_{\mu }$ とするとき、すべての成分の対についての絡み数の和
$$\sum _{1\le i<j\le \mu }\mathrm{lk}(L_i,L_j)$$
を求めよ。

5 本の紐のブレイド群 $B_5$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4$ とする。${\sigma }_i$ は左から $i$ 番目と $i+1$ 番目の位置にある紐の交差 1 つで、紐にブレイドの上から下へ進む向きを入れたとき正の交差（符号 $+1$）になるものとし、${\sigma }_i^{-1}$ は負の交差（符号 $-1$）とする。ブレイドの語は左の文字から順に、上から下へ積み重ねて読む。

ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^2{\sigma }_2^{-1}{\sigma }_3{\sigma }_4^3{\sigma }_2^{-1}{\sigma }_1^{-3}{\sigma }_3^2{\sigma }_4^{-1}$$
の閉包を $L$ とし、$L$ に紐の向きから定まる向きを入れる。ブレイドの上端で左から $i$ 番目の点を通る $L$ の成分を $L_i$ と書く。$L_1,L_3,L_5$ は互いに異なる成分である。

絡み数の組
$$(\mathrm{lk}(L_1,L_3),\mathrm{lk}(L_1,L_5),\mathrm{lk}(L_3,L_5))$$
をこの順に求めよ。

${\mathbb{C}}^2$ の単位球面 $S^3=\{(z,w)\in {\mathbb{C}}^2:|z{|}^2+|w{|}^2=1\}$ を考える。$S^3$ には、${\mathbb{C}}^2={\mathbb{R}}^4$ の向き $(\mathrm{Re}z,\mathrm{Im}z,\mathrm{Re}w,\mathrm{Im}w)$ から定まる単位球体の境界としての向きを入れる。

$p,q$ を互いに素な $2$ 以上の整数とし、円周 $S^1=\{t\in \mathbb{C}:|t|=1\}$ の $S^3$ への作用を
$$t\cdot (z,w)=(t^{p}z,t^{q}w)$$
で定める。

• $C_1=\{w=0\}\cap S^3$ と $C_2=\{z=0\}\cap S^3$ はそれぞれ 1 つの軌道であり、$C_1$ は $\arg z$ が増える向き、$C_2$ は $\arg w$ が増える向きに向き付ける。この向きの約束のもとで $\mathrm{lk}(C_1,C_2)=+1$ である。
• $zw\ne 0$ を満たす点の軌道を一般軌道とよぶ。一般軌道は $t=e^{i\theta }$ で $\theta$ を $0$ から $2\pi$ まで動かすと単純閉曲線を 1 周する。一般軌道は $\theta$ が増える向きに向き付ける。

$n$ を正の整数とし、相異なる $n$ 個の一般軌道 $K_1,\dots ,K_n$ をとる。$S^3$ 内の $(n+2)$ 成分の向き付けられた絡み目
$$L=C_1\cup C_2\cup K_1\cup \cdots \cup K_n$$
について、相異なる 2 成分のすべての組（$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{2}\right)$ 組）にわたる絡み数の総和
$$\Lambda =\sum _{\{X,Y\}}\mathrm{lk}(X,Y)$$
を $p,q,n$ の式で求めよ。

5 本の紐のブレイド群 $B_5$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4$ とする。${\sigma }_i$ は $i$ 番目の紐と $i+1$ 番目の紐の正の交差 1 つ、${\sigma }_i^{-1}$ は負の交差 1 つを表し、閉包の各紐にはブレイドの進む向き（語を左から右へ読む向き）に沿って向きを入れる。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_2^{-2}{\sigma }_3{\sigma }_4^2{\sigma }_3{\sigma }_2^2$$
の閉包として得られる向き付けられた絡み目を $L=\hat{\beta }$ とする。$L$ の相異なる 2 つの成分 $K_i,K_j$ の絡み数 $\mathrm{lk}(K_i,K_j)$ は、$K_i$ と $K_j$ の間の交差の符号の和の $\frac{1}{2}$ で定める。

$L$ のすべての成分の対 $\{K_i,K_j\}$（$i\ne j$）についての絡み数の和 $\sum _{i<j}\mathrm{lk}(K_i,K_j)$ を求めよ。