結び目理論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学結び目理論

5 本の紐のブレイド群 $B_{5}$ の標準生成元を $σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}, σ_{4}$ とする。 $σ_{i}$ は $i$ 番目の紐と $i + 1$ 番目の紐の正の交差 1 つ、 $σ_{i}^{- 1}$ は負の交差 1 つを表し、閉包の各紐にはブレイドの進む向き（語を左から右へ読む向き）に沿って向きを入れる。ブレイド
$β = σ_{1}^{3} σ_{2}^{- 2} σ_{3} σ_{4}^{2} σ_{3} σ_{2}^{2}$
の閉包として得られる向き付けられた絡み目を $L = β^$ とする。 $L$ の相異なる 2 つの成分 $K_{i}, K_{j}$ の絡み数 $lk (K_{i}, K_{j})$ は、 $K_{i}$ と $K_{j}$ の間の交差の符号の和の $\frac{1}{2}$ で定める。

$L$ のすべての成分の対 ${K_{i}, K_{j}}$ （ $i \neq = j$ ）についての絡み数の和 $i < j \sum lk (K_{i}, K_{j})$ を求めよ。

この問題で使うもの

ブレイドの置換と閉包の成分数（説明と入口の問題）
絡み数（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず閉包 $L$ が何成分の絡み目かを調べよう。各生成元で紐がどう入れ替わるかを追い、ブレイドに対応する置換を求める。

ヒント 2

$σ_{i}^{\pm k}$ は $k$ が奇数のときだけ位置 $i, i + 1$ の紐を入れ替える。置換のサイクルが閉包の成分に対応する。同じ成分の紐どうしの交差は絡み数に数えない。

ヒント 3

置換を計算すると、始点の位置 $1, 2$ の紐が 1 つの成分をなし、位置 $3, 4, 5$ の紐はそれぞれ単独の成分になる。各交差がどの成分の対の交差かを分類し、符号を足そう。

答えと解説

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2

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解説を読む

紐の追跡. 始点の位置 $1, 2, 3, 4, 5$ にある紐をそれぞれ $a, b, c, d, e$ とし、語を左から順に読んで各位置にある紐を追う。 $σ_{i}^{\pm k}$ は $k$ が奇数なら位置 $i, i + 1$ の紐を入れ替え、偶数なら入れ替えない。

語	交差する紐（符号×回数）	操作後の位置 $1, 2, 3, 4, 5$
$σ_{1}^{3}$	$a, b$ （ $+ 1 \times 3$ ）	$b, a, c, d, e$
$σ_{2}^{- 2}$	$a, c$ （ $- 1 \times 2$ ）	$b, a, c, d, e$
$σ_{3}$	$c, d$ （ $+ 1$ ）	$b, a, d, c, e$
$σ_{4}^{2}$	$c, e$ （ $+ 1 \times 2$ ）	$b, a, d, c, e$
$σ_{3}$	$d, c$ （ $+ 1$ ）	$b, a, c, d, e$
$σ_{2}^{2}$	$a, c$ （ $+ 1 \times 2$ ）	$b, a, c, d, e$

成分の決定. 終点で紐 $a$ は位置 $2$ 、紐 $b$ は位置 $1$ にあり、閉包では終点の位置 $k$ は始点の位置 $k$ につながる。よって $a$ の終わりは $b$ の始まりに、 $b$ の終わりは $a$ の始まりにつながり、 ${a, b}$ で 1 つの成分 $A$ をなす。 $c, d, e$ はそれぞれ同じ位置に戻るので、単独で成分 $C, D, E$ をなす。 $L$ は 4 成分の絡み目である。

絡み数. 同じ成分どうしの交差（ $σ_{1}^{3}$ の $a, b$ の 3 交差はどちらも成分 $A$ なので自己交差）は絡み数に寄与しない。異なる成分の間の交差の符号の和は
- $A$ と $C$ : $σ_{2}^{- 2}$ から $- 2$ 、 $σ_{2}^{2}$ から $+ 2$ で合計 $0$ 。よって $lk (A, C) = 0$
- $C$ と $D$ : 2 つの $σ_{3}$ から $+ 1 + 1 = 2$ 。よって $lk (C, D) = 1$
- $C$ と $E$ : $σ_{4}^{2}$ から $+ 2$ 。よって $lk (C, E) = 1$
- そのほかの対（ $A$ と $D$ 、 $A$ と $E$ 、 $D$ と $E$ ）は交差がないので $0$

したがって
$i < j \sum lk (K_{i}, K_{j}) = 0 + 1 + 1 = 2.$

（確認: 全交差の符号の和は $3 - 2 + 1 + 2 + 1 + 2 = 7$ 、そのうち自己交差の符号の和は $3$ なので、異なる成分間の交差の符号の和は $4$ 、その $\frac{1}{2}$ は $2$ で一致する。）

別解

まず置換を求める。 $σ_{i}^{k}$ の置換は $k$ が奇数なら互換 $(i i + 1)$ 、偶数なら恒等。 $σ_{1}^{3} \to (12)$ 、 $σ_{2}^{- 2} \to e$ 、 $σ_{3} \to (34)$ 、 $σ_{4}^{2} \to e$ 、 $σ_{3} \to (34)$ 、 $σ_{2}^{2} \to e$ 。積は $(12) (34) (34) = (12)$ 。したがって閉包の成分は、上端の位置 1,2 を通る成分 $A$ 、位置 3 の成分 $B$ 、位置 4 の成分 $C$ 、位置 5 の成分 $D$ の 4 成分。

語を左から順に追い、各交差でどの紐どうしが交わるかを調べる（位置 $p$ にいる紐を、始点の位置で呼ぶ）。
- $σ_{1}^{3}$ : 紐 1 と 2（ともに $A$ ）の自己交差。絡み数に寄与しない。以後、位置 1,2 にいる紐は $A$ のもの。
- $σ_{2}^{- 2}$ : 位置 2 の $A$ と位置 3 の $B$ の 2 交差、符号 $- 1$ ずつ。 $A$ - $B$ の和は $- 2$ 。置換は恒等なので位置は変わらない。
- $σ_{3}$ : 位置 3 の $B$ と位置 4 の $C$ 、符号 $+ 1$ 。 $B$ - $C$ の和は $+ 1$ 。入れ替わって位置 3 は $C$ 、位置 4 は $B$ 。
- $σ_{4}^{2}$ : 位置 4 の $B$ と位置 5 の $D$ の 2 交差、符号 $+ 1$ ずつ。 $B$ - $D$ の和は $+ 2$ 。
- $σ_{3}$ : 位置 3 の $C$ と位置 4 の $B$ 、符号 $+ 1$ 。 $B$ - $C$ の和は計 $+ 2$ 。入れ替わって位置 3 は $B$ 、位置 4 は $C$ に戻る。
- $σ_{2}^{2}$ : 位置 2 の $A$ と位置 3 の $B$ の 2 交差、符号 $+ 1$ ずつ。 $A$ - $B$ の和は $- 2 + 2 = 0$ 。

異なる成分間の符号和: $A$ - $B$ : $0$ 、 $B$ - $C$ : $2$ 、 $B$ - $D$ : $2$ 、そのほかは $0$ 。
絡み数はその $\frac{1}{2}$ なので $lk (A, B) = 0$ 、 $lk (B, C) = 1$ 、 $lk (B, D) = 1$ 。
和は $0 + 1 + 1 = 2$ 。

検算: 異なる成分間の交差の符号の総和は $- 2 + 1 + 2 + 1 + 2 = 4$ で、その半分は $2$ 。成分間の絡み数の総和と一致する。

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