結び目理論の問題

1. 紐の追跡. 始点で位置 $k$ にある紐を「紐 $k$」と呼び、各段階で位置 $1,\dots ,5$ にある紐の番号を並べて書く。${\sigma }_i^{\pm 1}$ は位置 $i$ と $i+1$ の紐を入れ替え、その 2 本の紐の間に符号 $\pm 1$ の交点を 1 つ作る。

• 最初: $[1,2,3,4,5]$
• ${\sigma }_1^3$: 紐 1 と紐 2 の交点が 3 つ（符号 $+$）。奇数回入れ替わるので $[2,1,3,4,5]$。
• ${\sigma }_3^2$: 紐 3 と紐 4 の交点が 2 つ（$+$）。偶数回なので並びは $[2,1,3,4,5]$ のまま。
• ${\sigma }_2^{-1}$: 位置 2, 3 にあるのは紐 1 と紐 3。交点 1 つ（$-$）。$[2,3,1,4,5]$。
• ${\sigma }_4^4$: 位置 4, 5 にあるのは紐 4 と紐 5。交点 4 つ（$+$）。並びは変わらない。
• ${\sigma }_2^{-1}$: 位置 2, 3 にあるのは紐 3 と紐 1。交点 1 つ（$-$）。$[2,1,3,4,5]$。
• ${\sigma }_3^{-3}$: 位置 3, 4 にあるのは紐 3 と紐 4。交点 3 つ（$-$）。$[2,1,4,3,5]$。

2. 成分の個数. 終点で、紐 1 は位置 2、紐 2 は位置 1、紐 3 は位置 4、紐 4 は位置 3、紐 5 は位置 5 にある。閉包では終点の位置 $k$ が始点の位置 $k$ につながるので、紐 1 の終わりは紐 2 の始まりにつながり、紐 2 の終わりは紐 1 の始まりにつながる。同様に紐 3 と紐 4 が 1 つの成分をなし、紐 5 は単独で 1 つの成分になる。成分の個数は置換 $(12)(34)$ の巡回の個数（長さ 1 の巡回 $(5)$ も含む）に等しく、
$$K_1=\{1,2\},K_2=\{3,4\},K_3=\{5\},\mu =3.$$

3. 絡み数. 2 つの成分の絡み数は、その 2 成分の間の交点の符号の和の $\frac{1}{2}$ である（同じ成分どうしの交点は数えない）。

• $K_1$ と $K_2$: 紐 1 と紐 3 の交点 2 つ（どちらも $-$）。$\mathrm{lk}(K_1,K_2)=\frac{1}{2}(-2)=-1$。
• $K_2$ と $K_3$: 紐 4 と紐 5 の交点 4 つ（すべて $+$）。$\mathrm{lk}(K_2,K_3)=\frac{1}{2}\cdot 4=2$。
• $K_1$ と $K_3$: 交点はない。$\mathrm{lk}(K_1,K_3)=0$。

（${\sigma }_1^3$ の 3 交点は $K_1$ 内、${\sigma }_3^2$ と ${\sigma }_3^{-3}$ の交点は $K_2$ 内の交点なので絡み数には入らない。）

よって $\Lambda =-1+2+0=1$ であり、$(\mu ,\Lambda )=(3,1)$。

語を左から順に読み、位置 $1,\dots ,5$ にある紐を上端での位置の番号で追跡する。初期状態は $[1,2,3,4,5]$。交差のたびに、交差する 2 本の紐と符号を記録し、位置を入れ替える。

1. ${\sigma }_1^3$: 位置 1,2 の紐 $1,2$ が 3 回交差(符号 $+1$ ずつ)。奇数回なので入れ替わり $[2,1,3,4,5]$。
2. ${\sigma }_3^2$: 位置 3,4 の紐 $3,4$ が 2 回交差($+1$ ずつ)。偶数回で変化なし。
3. ${\sigma }_2^{-1}$: 位置 2,3 の紐 $1,3$ が交差($-1$)。$[2,3,1,4,5]$。
4. ${\sigma }_4^4$: 位置 4,5 の紐 $4,5$ が 4 回交差($+1$ ずつ)。偶数回で変化なし。
5. ${\sigma }_2^{-1}$: 位置 2,3 の紐 $3,1$ が交差($-1$)。$[2,1,3,4,5]$。
6. ${\sigma }_3^{-3}$: 位置 3,4 の紐 $3,4$ が 3 回交差($-1$ ずつ)。奇数回で入れ替わり $[2,1,4,3,5]$。

最終的な位置 $j$ にある紐の番号は $(2,1,4,3,5)$、つまり置換は互換 $(12)$ と $(34)$ と固定点 $5$ の積。巡回は $\{1,2\},\{3,4\},\{5\}$ の 3 つなので、成分は $A=\{1,2\}$、$B=\{3,4\}$、$C=\{5\}$ の $\mu =3$。

異なる成分間の交差の符号和:
- $A$ と $B$: 紐 $1,3$ の交差 2 回($-1,-1$)で $-2$(紐 $1,2$ 間の交差は $A$ 内、紐 $3,4$ 間の交差は $B$ 内の自己交差なので数えない)。
- $B$ と $C$: 紐 $4,5$ の交差 4 回で $+4$。
- $A$ と $C$: 交差なし、$0$。

絡み数は符号和の半分: $\mathrm{lk}(A,B)=-1$, $\mathrm{lk}(B,C)=2$, $\mathrm{lk}(A,C)=0$。よって $\Lambda =-1+2+0=1$。

検算: 全交差数 $3+2+1+4+1+3=14$。成分間交差 $2+4=6$、自己交差 $3+2+3=8$(紐 $1,2$ の 3 回と紐 $3,4$ の $2+3=5$ 回)、合計 $14$ で一致。