結び目理論

互いに素な整数 $p,q$ で $2\le p<q$ を満たすものに対し、$T(p,q)$ を $(p,q)$ トーラス結び目とする。次の 2 つの事実を用いてよい。

• 自明でないトーラス結び目は、鏡像と向きの違いを同一視すると、上の条件を満たす組 $(p,q)$ によってちょうど 1 通りに $T(p,q)$ と表される。異なる組は異なる結び目を与える。
• (村杉) 交点数について $c(T(p,q))=\min \{p(q-1),q(p-1)\}$ が成り立つ。

鏡像と向きの違いを同一視するとき、交点数 $c(K)$ が $24$ 以下である自明でないトーラス結び目 $K$ の個数を求めよ。

7 本の紐のブレイド群 $B_7$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_6$ とする。${\sigma }_i$ は位置 $i$ にある紐と位置 $i+1$ にある紐の交差 1 つを表し、${\sigma }_i^{-1}$ はその逆向きの交差を表す。ブレイドの語は左から順に（上から下へ）読むものとする。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_2^{-1}{\sigma }_4^2{\sigma }_5{\sigma }_6^{-1}\in B_7$$
の閉包 $\hat{\beta }$ を考える。上端で位置 $5$ から出発する紐が属する $\hat{\beta }$ の成分には、上端でどの位置から出発する紐が含まれるか。その位置の番号の集合を求めよ。

8 の字結び目 $4_1$ の交点数 4 の図式 $D$ は 4 本の弧 $x_1,x_2,x_3,x_4$ と 4 つの交点 $c_1,c_2,c_3,c_4$ をもち、各交点で上を通る弧と、その交点で分断される 2 本の下の弧は次のとおりである。

• $c_1$: 上の弧 $x_1$、下の弧 $x_2,x_3$
• $c_2$: 上の弧 $x_2$、下の弧 $x_3,x_4$
• $c_3$: 上の弧 $x_3$、下の弧 $x_4,x_1$
• $c_4$: 上の弧 $x_4$、下の弧 $x_1,x_2$

$D$ のフォックス 5 彩色とは、各弧 $x_i$ に $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ の元（同じ記号 $x_i$ で表す）を割り当てる方法であって、どの交点でも、上の弧の元を $a$、下の 2 本の弧の元を $b,c$ とするとき $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}5)$ が成り立つものをいう。すべての弧に同じ元を割り当てる自明な彩色も数えるとき、$D$ のフォックス 5 彩色の個数 ${\mathrm{col}}_5(4_1)$ を求めよ。

向き付けられた 2 成分絡み目 $L=K_1\cup K_2$ の図式 $D$ が 7 個の交点 $c_1,c_2,\dots ,c_7$ をもつ。各交点がどの成分どうしの交点か、およびその交点の符号 $\epsilon (c)$ は次のとおりである。ここで符号は、上の弧の向きを下の弧の向きに反時計回りに $90^{\circ }$ 回して重なる交点（右手系の交点）を $+1$、そうでない交点を $-1$ とする通常の規約による。

（$c_3$ は $K_1$ が自分自身と交わる交点である。）絡み数 $\mathrm{lk}(K_1,K_2)$ を求めよ。

$S^3$ 内の向き付けられた結び目 $K$ が、種数 $1$ の連結で向き付け可能なザイフェルト曲面 $F$ を境界としてもつとする。$H_1(F;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^2$ の基底 $a_1,a_2$ をとり、$a_j^{+}$ を $a_j$ を $F$ の正の法線方向に少し押し出した曲線とする。絡み数 $V_{ij}=\mathrm{lk}(a_i,a_j^{+})$ を並べたザイフェルト行列が
$$V=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$$
であった。$t$ を変数とする多項式 $\det (V-t{V}^T)$ を求めよ（$V^T$ は $V$ の転置行列）。

向き付けられた絡み目 $L$ のジョーンズ多項式 $V_L(t)$ は、整数係数のローラン多項式環 $\mathbb{Z}[t^{1/2},t^{-1/2}]$ の元であり、絡み目の同位類（向きを含む）だけで決まって、次の 2 つの条件を満たす。

- 自明な結び目 $O$ に対して $V_O(t)=1$
- 1 つの交点の近くだけが異なり、その交点がそれぞれ正の交点・負の交点・向きに沿った平滑化になっている 3 つの向き付けられた絡み目 $L_{+},L_{-},L_0$ に対して
$$t^{-1}{V}_{L_{+}}(t)-t{V}_{L_{-}}(t)=\left(t^{1/2}-t^{-1/2}\right)V_{L_0}(t)$$

2 本のひもからなるブレイド群の生成元を ${\sigma }_1$ とし、各ひもにブレイドの向き（上から下へ）を入れて閉包をとったとき、${\sigma }_1$ の交点が正の交点になるように ${\sigma }_1$ を定める。整数 $k$ に対し、ブレイドの語 ${\sigma }_1^k$ の閉包（向きはブレイドの向きから定まるもの）を $L_k$ と書く。

$L_2$（ホップ絡み目）と $L_3$（三葉結び目 $3_1$ の一方の鏡像）のジョーンズ多項式が
$$V_{L_2}(t)=-t^{1/2}-t^{5/2},V_{L_3}(t)=t+t^3-t^4$$
であることを用いて、トーラス絡み目 $T(2,4)$ にあたる $L_4$ のジョーンズ多項式 $V_{L_4}(t)$ を求めよ。

8 の字結び目 $K=4_1$ のあるザイフェルト曲面（種数 $1$）について、$H_1$ の基底から読み取ったザイフェルト行列が
$$V=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$$
であるとする。2 以上の整数 $n$ に対し、${\mathrm{col}}_n(K)$ を $K$ の図式のフォックス $n$ 彩色（各弧に $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の元を割り当て、各交点で上を通る弧の元 $a$ と下の 2 本の弧の元 $b,c$ が $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}n)$ を満たすもの）の個数とする。ただし、すべての弧に同じ元を割り当てる自明な彩色も数える。

$V+V^T$ のスミス標準形の不変因子 $d_1,d_2$ を用いた公式 ${\mathrm{col}}_n(K)=n{\prod }_i\gcd (d_i,n)$ を使って、${\mathrm{col}}_{10}(K)$ を求めよ。

$S^3$ 内の向き付けられた結び目 $K$ が、種数 $1$ の連結で向き付け可能なザイフェルト曲面 $F$ の境界になっており、$H_1(F;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^2$ のある基底に関するザイフェルト行列が
$$V=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$$
であるとする。$K$ の符号数 $\sigma (K)$ を、実対称行列 $V+V^T$ の正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いた値（重複度を込めて数える）と定める。$\sigma (K)$ を求めよ。

3 本の紐のブレイド群 $B_3$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ とする（${\sigma }_i$ は $i$ 番目の紐と $i+1$ 番目の紐の正の交差 1 つを表し、閉包の各紐にはブレイドの進む向きに沿って向きを入れる）。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^5{\sigma }_2^3\in B_3$$
の閉包 $K=\hat{\beta }$ は結び目（1 成分）である。結び目の種数 $g(K)$ を、$S^3$ 内で $K$ を境界とする連結で向き付け可能な曲面の種数の最小値と定める。$g(K)$ を求めよ。ただし、正のブレイドの閉包に対してザイフェルトのアルゴリズムで作った曲面が最小種数を与えるというスターリングスの定理は、引用して用いてよい。

向き付けられた絡み目 $L$ のジョーンズ多項式 $V_L(t)$ を、自明な結び目 $O$ に対して $V_O(t)=1$、およびスケイン関係式
$$t^{-1}{V}_{L_{+}}(t)-t{V}_{L_{-}}(t)=\left(t^{1/2}-t^{-1/2}\right)V_{L_0}(t)$$
で定め、コンウェイ多項式 ${\nabla }_L(z)$ を ${\nabla }_O(z)=1$ と ${\nabla }_{L_{+}}(z)-{\nabla }_{L_{-}}(z)=z{\nabla }_{L_0}(z)$ で定める。

Rolfsen の表の結び目 $K=7_2$ のコンウェイ多項式は
$${\nabla }_K(z)=1+3z^2$$
である。結び目 $K$ について成り立つ公式 $V_K^{\prime \prime }(1)=-6a_2(K)$（$a_2(K)$ は ${\nabla }_K(z)$ の $z^2$ の係数）を用いて、ジョーンズ多項式の $t=1$ における 2 階微分係数 $V_K^{\prime \prime }(1)$ を求めよ。

奇数 $p,q,r$ に対するプレッツェル結び目 $P(p,q,r)$ には標準的な種数 $1$ のザイフェルト曲面があり、その $H_1$ のある基底に関するザイフェルト行列は
$$V=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}p+q& q+1\\ q-1& q+r\end{array}\right)$$
で与えられる。結び目 $K$ の行列式を $\det (K)=|\det (V+V^T)|$ と定める。

$K=P(3,5,-7)$ のとき、$\det (K)$ を求めよ。

$T(3,4)$ を $(3,4)$ トーラス結び目とする。互いに素な $2$ 以上の整数 $p,q$ に対し、トーラス結び目 $T(p,q)$ のアレクサンダー多項式は、$\pm t^k$ 倍（$k$ は整数）の違いを除いて
$${\Delta }_{T(p,q)}(t)=\frac{(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^p-1)(t^q-1)}$$
で与えられることが知られている。${\Delta }_{T(3,4)}(t)$ を、定数項が $0$ でない $t$ の多項式で ${\Delta }_{T(3,4)}(1)=1$ を満たすように正規化して求めよ。

$T(3,7)$ を正の（右手系の）$(3,7)$ トーラス結び目とする。符号数は、正の三葉結び目 $T(2,3)$ の符号数が $-2$ となる規約で定める。

互いに素な $2$ 以上の整数 $p,q$ に対し、$1\le i\le p-1$, $1\le j\le q-1$ を満たす整数の組 $(i,j)$ のうち
$$\frac{1}{2}<\frac{i}{p}+\frac{j}{q}<\frac{3}{2}$$
を満たすものの個数を $N_{\mathrm{in}}$、満たさないものの個数を $N_{\mathrm{out}}$ とすると、この規約のもとで
$$\sigma (T(p,q))=N_{\mathrm{out}}-N_{\mathrm{in}}$$
が成り立つことが知られている。これを用いて、符号数 $\sigma (T(3,7))$ を求めよ。

$T(2,5)$ を正の（右手系の）$(2,5)$ トーラス結び目とする。互いに素な $2$ 以上の整数 $p,q$ に対し、正のトーラス結び目 $T(p,q)$ のジョーンズ多項式（スケイン関係式 $t^{-1}{V}_{L_{+}}-t{V}_{L_{-}}=(t^{1/2}-t^{-1/2})V_{L_0}$ と自明な結び目 $O$ に対する $V_O(t)=1$ で定めたもの）は
$$V_{T(p,q)}(t)=t^{(p-1)(q-1)/2}\frac{1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^2}$$
で与えられることが知られている。$t=1+h$ とおいて $V_{T(2,5)}(1+h)$ を $h$ について展開することにより、$t=1$ における $2$ 階微分係数 $V_{T(2,5)}^{\prime \prime }(1)$ を求めよ。

向き付けられた絡み目 $L$ のコンウェイ多項式 ${\nabla }_L(z)\in \mathbb{Z}[z]$ は、自明な結び目 $O$ に対して ${\nabla }_O(z)=1$ であり、ある交点だけが異なる 3 つの向き付けられた絡み目 $L_{+},L_{-},L_0$（その交点が正の交点、負の交点、向きに沿って交点をなくしたもの）に対してスケイン関係式
$${\nabla }_{L_{+}}(z)-{\nabla }_{L_{-}}(z)=z{\nabla }_{L_0}(z)$$
を満たす不変量である。分離した 2 成分の自明な絡み目の $\nabla$ は $0$ であることを用いてよい。

2 本の紐のブレイド群 $B_2$ の生成元を ${\sigma }_1$（正の交差）とし、自然数 $n\ge 0$ に対して、ブレイド ${\sigma }_1^n$ の閉包（紐はすべて同じ向きに向き付ける）を $L_n$ とする。ただし $L_0$ は分離した 2 成分の自明な絡み目とする。$L_4$ のコンウェイ多項式 ${\nabla }_{L_4}(z)$ を求めよ。

結び目 $K$ を、三葉結び目 $3_1$ 2 つと 8 の字結び目 $4_1$ 1 つの連結和 $K=3_1\#3_1\#4_1$ とする（連結和の結果は向きや選び方によらず、以下の量は $K$ のみで決まる）。

$K$ の行列式を $\det (K)=|{\Delta }_K(-1)|$（${\Delta }_K(t)$ はアレクサンダー多項式）で定める。また、$K$ のある図式の各弧に $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ の元を割り当てる方法で、各交点において上を通る弧の色 $a$ と下を通る 2 本の弧の色 $b,c$ が $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}3)$ を満たすものを $K$ の Fox 3 彩色とよび、その個数を ${\mathrm{col}}_3(K)$ とする（すべての弧が同じ色の 3 個の自明な彩色も数に含める。この個数は図式の選び方によらない）。

組 $(\det (K),{\mathrm{col}}_3(K))$ をこの順に求めよ。

トーラス絡み目 $T(6,9)$ を考える。$T(6,9)$ は 6 本の紐のブレイド群 $B_6$ の元
$$\beta =({\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3{\sigma }_4{\sigma }_5{)}^9$$
の閉包として得られる。ここで ${\sigma }_i$ は $i$ 番目と $i+1$ 番目の紐の交差であり、閉包の各成分にはブレイドの進む向きに沿った向きを入れる。この向きのもとで、${\sigma }_i$ に対応する交点はすべて正の交点（符号 $+1$）であるとする。

$T(6,9)$ の成分の個数を $\mu$ とし、成分を $L_1,\dots ,L_{\mu }$ とするとき、すべての成分の対についての絡み数の和
$$\sum _{1\le i<j\le \mu }\mathrm{lk}(L_i,L_j)$$
を求めよ。

プレッツェル結び目 $P(3,3,3)$（Rolfsen の表の $9_{35}$）を $K$ とする。$K$ の図式のフォックス 3 彩色（各弧に $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ の元を割り当て、各交点で上を通る弧の色を $x$、下を通る 2 本の弧の色を $y,z$ とするとき $2x\equiv y+z(\mathrm{mod}3)$ を満たすもの）の個数を求めよ。ただし、すべての弧に同じ色を割り当てる自明な彩色も 1 個と数える。

5 本の紐のブレイド群 $B_5$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4$ とする（${\sigma }_i$ は $i$ 番目の紐と $i+1$ 番目の紐の正の交差 1 つを表す）。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_2^4{\sigma }_3^2{\sigma }_4^3{\sigma }_2{\sigma }_3$$
の閉包 $\hat{\beta }$ を考える。$\hat{\beta }$ は結び目（成分が 1 つの絡み目）であることが確かめられる。この結び目の種数（$3$ 次元球面内で $\hat{\beta }$ を境界とする向き付け可能な連結曲面の種数の最小値）を求めよ。

$S^3$ 内の向き付けられた結び目 $K$ が、種数 $2$ の連結な向き付け可能曲面（ザイフェルト曲面）$F$ の境界になっており、$H_1(F;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^4$ のある基底に関する $F$ のザイフェルト行列が
$$V=\left(\begin{array}{cccc}-1& 1& 0& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ 0& 0& -1& 1\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$$
であるとする。ここで、結び目の種数 $g(K)$ は $K$ を境界とする $S^3$ 内の連結な向き付け可能曲面の種数の最小値、符号数 $\sigma (K)$ は対称行列 $V+V^T$ の符号数（正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）とする。また、任意のザイフェルト行列について $\sigma (K)$ は同じ値をとり、$|\sigma (K)|\le 2g(K)$ が成り立つことは用いてよい。

$g(K)$ を求めよ。

5 本の紐のブレイド群 $B_5$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4$ とする。${\sigma }_i$ は $i$ 番目の紐と $i+1$ 番目の紐の正の交差 1 つ、${\sigma }_i^{-1}$ は負の交差 1 つを表し、閉包の各紐にはブレイドの進む向き（語を左から右へ読む向き）に沿って向きを入れる。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_2^{-2}{\sigma }_3{\sigma }_4^2{\sigma }_3{\sigma }_2^2$$
の閉包として得られる向き付けられた絡み目を $L=\hat{\beta }$ とする。$L$ の相異なる 2 つの成分 $K_i,K_j$ の絡み数 $\mathrm{lk}(K_i,K_j)$ は、$K_i$ と $K_j$ の間の交差の符号の和の $\frac{1}{2}$ で定める。

$L$ のすべての成分の対 $\{K_i,K_j\}$（$i\ne j$）についての絡み数の和 $\sum _{i<j}\mathrm{lk}(K_i,K_j)$ を求めよ。

互いに素な整数 $p,q$ で $2\le p<q$ を満たすものに対し、$T(p,q)$ を $(p,q)$ トーラス結び目とする（$p<q$ と定めたので、各トーラス結び目はちょうど 1 つの組 $(p,q)$ で表される）。結び目 $K$ の交点数 $c(K)$ を、$K$ のすべての図式における交点の個数の最小値とする。

$c(T(p,q))\le 20$ を満たす組 $(p,q)$ の個数を求めよ。

3 本の紐のブレイド群 $B_3$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ とする。${\sigma }_i$ $(i=1,2)$ は、位置 $i$ にある紐と位置 $i+1$ にある紐の交差 1 つで、閉包にブレイドの進む向き（上から下）の向きを入れたとき正の交差（符号 $+1$）になるものとし、${\sigma }_i^{-1}$ は負の交差（符号 $-1$）とする。語は左から順に上から下へ読む。

ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1{\sigma }_2^2{\sigma }_1{\sigma }_2^{-4}{\sigma }_1^2$$
の閉包を $L$ とし、各紐にブレイドの進む向きに沿って向きを入れる。$L$ は 3 成分の絡み目になる。$j=1,2,3$ に対し、ブレイドの上端で位置 $j$ から出発する紐を含む成分を $K_j$ とする。

絡み数 $\mathrm{lk}(K_a,K_b)$ を、$K_a$ と $K_b$ の間の交差（$K_a$ と $K_b$ の一方が上、他方が下を通る交差）の符号の和の $\frac{1}{2}$ と定める。組
$$(\mathrm{lk}(K_1,K_2),\mathrm{lk}(K_1,K_3),\mathrm{lk}(K_2,K_3))$$
をこの順に求めよ。

Rolfsen の表の結び目 $K=7_4$ を考える。$K$ のアレクサンダー多項式は（${\Delta }_K(t)={\Delta }_K(t^{-1})$ となるように正規化して）
$${\Delta }_K(t)=4t-7+4t^{-1}$$
である。結び目の行列式を $\det (K)=|{\Delta }_K(-1)|$ で定める。

2 以上の整数 $n$ に対し、$K$ の図式のフォックス $n$ 彩色とは、図式の各弧に $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の元を割り当てて、各交点で上を通る弧の色を $a$、下を通る 2 本の弧の色を $b,c$ とするとき $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}n)$ が成り立つようにしたものとする。すべての弧が同じ色である彩色を自明な彩色と呼ぶ。

$2\le n\le 30$ を満たす整数 $n$ のうち、$K$ が自明でないフォックス $n$ 彩色をもつようなものの個数を求めよ。ただし、自明でない $n$ 彩色が存在するかどうかは図式の選び方によらないことを用いてよい。

${\mathbb{R}}^3$ 内の 2 つの向き付けられた閉曲線 $K_1,K_2$ を、$s,t\in [0,2\pi ]$ をパラメータとして
$$K_1:{\mathbf{r}}_1(s)=(2\cos s,2\sin s,0),$$
$$K_2:{\mathbf{r}}_2(t)=((2+\cos 7t)\cos 4t,(2+\cos 7t)\sin 4t,\sin 7t)$$
で定め、それぞれパラメータが増える向きに向きを入れる（$K_2$ は $K_1$ を中心円とするトーラス上の曲線で、$K_1$ と交わらない）。

ガウスの絡み数積分
$$\mathrm{lk}(K_1,K_2)=\frac{1}{4\pi }{\oint }_{K_1}{\oint }_{K_2}\frac{({\mathbf{r}}_1-{\mathbf{r}}_2)\cdot (d{\mathbf{r}}_1\times d{\mathbf{r}}_2)}{|{\mathbf{r}}_1-{\mathbf{r}}_2{|}^3}$$
の値を求めよ。

5 本の紐のブレイド群 $B_5$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4$ とする。${\sigma }_i$ は左から $i$ 番目と $i+1$ 番目の位置にある紐の交差 1 つで、紐にブレイドの上から下へ進む向きを入れたとき正の交差（符号 $+1$）になるものとし、${\sigma }_i^{-1}$ は負の交差（符号 $-1$）とする。ブレイドの語は左の文字から順に、上から下へ積み重ねて読む。

ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^2{\sigma }_2^{-1}{\sigma }_3{\sigma }_4^3{\sigma }_2^{-1}{\sigma }_1^{-3}{\sigma }_3^2{\sigma }_4^{-1}$$
の閉包を $L$ とし、$L$ に紐の向きから定まる向きを入れる。ブレイドの上端で左から $i$ 番目の点を通る $L$ の成分を $L_i$ と書く。$L_1,L_3,L_5$ は互いに異なる成分である。

絡み数の組
$$(\mathrm{lk}(L_1,L_3),\mathrm{lk}(L_1,L_5),\mathrm{lk}(L_3,L_5))$$
をこの順に求めよ。

$K$ を $S^3$ 内の向き付けられた結び目とし、$F$ を $K$ の種数 $g$ の連結なザイフェルト曲面とする。$H_1(F;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^{2g}$ の基底 $a_1,\dots ,a_{2g}$ を $1$ つ選び、ザイフェルト行列を $V=(\mathrm{lk}(a_i,a_j^{+}){)}_{i,j}$（$a_j^{+}$ は $a_j$ を $F$ の正の側に押し出したもの）で定める。$K$ の符号数 $\sigma (K)$ を、実対称行列 $V+V^T$ の符号数（正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）と定める。$g=0$ のときは $V$ を $0\times 0$ 行列とし、$\sigma (K)=0$ とする。

次の事実は用いてよい。
- $\sigma (K)$ はザイフェルト曲面と基底の選び方によらない。
- $V-V^T$ は $H_1(F;\mathbb{Z})$ の交叉形式を表す行列であり、$\det (V-V^T)=1$ である。

$K$ の種数を $g(K)$ とするとき、$\sigma (K)$ は偶数であり、かつ $|\sigma (K)|\le 2g(K)$ であることを証明せよ。

向き付けられた絡み目 $L\subset S^3$ のジョーンズ多項式 $V_L(t)\in \mathbb{Z}[t^{1/2},t^{-1/2}]$ を、次の $2$ つの性質で特徴づけられる向き付き絡み目の不変量とする。ここで「不変量」とは、$V_L(t)$ が向き付き絡み目 $L$ の（向きを保つ）イソトピー類だけで決まることをいい、したがって図式に対する値は、その図式が表す向き付き絡み目の値として定まり、ライデマイスター移動で変わらない。
- 自明な結び目 $O$ に対して $V_O(t)=1$。
- $1$ つの交点の近くだけが異なり、その交点がそれぞれ正の交点・負の交点・平滑化（向きに沿って交点を解消したもの）になっている向き付き絡み目の図式 $L_{+},L_{-},L_0$ に対して
$$t^{-1}{V}_{L_{+}}(t)-t{V}_{L_{-}}(t)=(t^{1/2}-t^{-1/2})V_{L_0}(t).$$

また、次の事実は用いてよい: 任意の向き付き絡み目の図式は、いくつかの交点の上下を入れ替えることで、成分の個数が同じ自明な絡み目（互いに分離した自明な結び目の和）の図式にできる。

$V_L(1)$ を、$V_L(t)$ に $t^{1/2}=1$ を代入した整数と定める。$c$ を正の整数とするとき、$c$ 成分の任意の向き付き絡み目 $L$ に対して
$$V_L(1)=(-2{)}^{c-1}$$
が成り立つことを証明せよ。

$p$ を素数とし、$K$ を結び目、$D$ を $K$ の交点を $n$ 個（$n\ge 1$）もつ図式とする。$D$ の弧とは、$D$ を各交点で下を通る部分で切って得られる、図式の連続な部分のことをいう。$n\ge 1$ のとき $D$ の弧はちょうど $n$ 個あることは用いてよい。弧を $a_1,\dots ,a_n$、交点を $c_1,\dots ,c_n$ とする。写像 $x:\{a_1,\dots ,a_n\}\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ が $D$ の $p$ 彩色であるとは、各交点 $c_k$ で、上を通る弧を $a_i$、交点で切れて下を通る $2$ 本の弧を $a_j,a_l$（$j=l$ や $i\in \{j,l\}$ となる場合も含む）とするとき
$$2x(a_i)-x(a_j)-x(a_l)=0(\text{in }\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$$
が成り立つことをいう。$n\times n$ 整数行列 $M$ を、第 $k$ 行が交点 $c_k$ のこの式の係数を並べたもの（第 $m$ 列が弧 $a_m$ の係数で、同じ弧が式に複数回現れるときは係数を足し合わせる）として定め、$D$ の彩色行列とよぶ。

次の事実は用いてよい: $M$ から任意に $1$ つの行と $1$ つの列を除いた $(n-1)\times (n-1)$ 小行列の行列式の絶対値は、行・列の選び方と図式 $D$ の選び方によらず、$K$ の行列式 $\det (K)$ に等しい（$n=1$ のときは $0\times 0$ 行列の行列式を $1$ と約束する）。

$p$ が $\det (K)$ を割り切らないならば、$D$ の $p$ 彩色は、すべての弧に同じ色を塗る $p$ 個の定値彩色に限ること（したがって $p$ 彩色はちょうど $p$ 個であること）を証明せよ。

向き付けられた絡み目 $L$ のジョーンズ多項式 $V_L(t)$ を、次の 2 つの条件で定める。

• 自明な結び目 $O$ に対して $V_O(t)=1$
• スケイン関係式 $$t^{-1}{V}_{L_{+}}(t)-t{V}_{L_{-}}(t)=\left(t^{1/2}-t^{-1/2}\right)V_{L_0}(t)$$

ここで $L_{+},L_{-},L_0$ は、1 つの交点の近くだけが異なる通常のスケイン三つ組とする。$L_{+}$ は正の交点、$L_{-}$ は負の交点をもち、$L_0$ はその交点を向きに沿って解消したものである。

この規約では、正の（右手系の）三葉結び目 $T(2,3)$ について $V_{T(2,3)}(t)=t+t^3-t^4$ となる。

結び目 $K$ を、正の（右手系の）トーラス結び目 $T(2,5)$、正のトーラス結び目 $T(3,4)$、8 の字結び目 $4_1$ の連結和
$$K=T(2,5)\#T(3,4)\#4_1$$
とする。ここに現れる結び目はどれも可逆なので、連結和は向きの選び方によらず定まる。

ジョーンズ多項式 $V_K(t)$ の $t=1$ における 2 階微分係数 $V_K^{\prime \prime }(1)$ を求めよ。

Rolfsen の表の結び目 $K=7_7$ を考える。$K$ のアレクサンダー多項式は（${\Delta }_K(t)={\Delta }_K(t^{-1})$ となるように正規化して）
$${\Delta }_K(t)=t^2-5t+9-5t^{-1}+t^{-2}$$
であり、$K$ の橋数は $2$ である。

素数 $p$ に対し、$K$ の図式のフォックス $p$ 彩色とは、図式の各弧に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の元を割り当てる方法であって、各交点で上を通る弧の色を $a$、下を通る 2 本の弧の色を $b,c$ とするとき $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}p)$ を満たすものをいう（すべての弧が同じ色の自明な彩色も含める）。その個数は図式の取り方によらない $K$ の不変量であり、これを $c_p(K)$ とおく。

$c_p(K)\ne p$ となる素数 $p$ は有限個しかない。
$$S=\sum _{p:\text{素数}}(c_p(K)-p)$$
の値を求めよ。

向き付けられた絡み目 $L$ のコンウェイ多項式 ${\nabla }_L(z)\in \mathbb{Z}[z]$ を、次の 2 つの条件で定める。

• 自明な結び目 $O$ に対して ${\nabla }_O(z)=1$
• スケイン関係式 $${\nabla }_{L_{+}}(z)-{\nabla }_{L_{-}}(z)=z{\nabla }_{L_0}(z)$$

ここで $L_{+},L_{-},L_0$ は、1 つの交点の近くだけが異なる 3 つの向き付けられた絡み目である。その交点が $L_{+}$ では正の交点、$L_{-}$ では負の交点であり、$L_0$ はその交点を向きに沿って解消したものとする。

2 本の紐のブレイド群 $B_2$ の生成元を ${\sigma }_1$ とする。${\sigma }_1$ は、閉包の 2 本の紐に同じ向きを入れたときに正の交点となる交差とする。正の整数 $n$ に対して、ブレイド ${\sigma }_1^n$ の閉包を $T(2,n)$ と書く。$n$ が奇数なら $T(2,n)$ は結び目、$n$ が偶数なら 2 成分の絡み目である。

結び目 $T(2,9)$ のコンウェイ多項式 ${\nabla }_{T(2,9)}(z)$ を求めよ。

$p,q,r$ を奇数とし、$P(p,q,r)$ をプレッツェル結び目とする（$p,q,r$ がすべて奇数なので $P(p,q,r)$ は結び目である）。$P(p,q,r)$ には標準的な種数 $1$ のザイフェルト曲面 $F$ があり、$H_1(F;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^2$ のある基底に関するザイフェルト行列は
$$V_{p,q,r}=-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}p+q& q+1\\ q-1& q+r\end{array}\right)$$
で与えられるものとする（この規約では $P(1,1,1)$ は正の三葉結び目で、符号数は $-2$ となる）。結び目 $K$ の符号数 $\sigma (K)$ は、$K$ の任意のザイフェルト行列 $V$ に対する対称行列 $V+V^T$ の符号数（正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）と定める。これはザイフェルト曲面と基底の選び方によらない。

奇数 $r$ に対して $K_r=P(-3,5,r)$ とおく。$-49\le r\le 49$ を満たすすべての奇数 $r$ にわたる和
$$\sum _{\begin{array}{c}-49\le r\le 49\\ r:\text{odd}\end{array}}\sigma (K_r)$$
を求めよ。

4 本の紐のブレイド群 $B_4$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ とする（${\sigma }_i$ は $i$ 番目の紐と $i+1$ 番目の紐の交差で、閉包の各紐にブレイドの進む向きに沿って向きを入れたとき、符号 $+1$ の交点になるもの）。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_2^2{\sigma }_3^3{\sigma }_2\in B_4$$
の閉包を $\hat{\beta }$ とする。$\hat{\beta }$ は結び目（1 成分）になる。この結び目の種数（$\hat{\beta }$ を境界とする $S^3$ 内の連結で向き付け可能な曲面の種数の最小値）を求めよ。

$K=T(5,6)$ を正の（右手系の）$(5,6)$ トーラス結び目とする。結び目の種数 $g(K)$ は $S^3$ 内で $K$ を境界とする向き付け可能な連結曲面の種数の最小値とし、符号数 $\sigma (K)$ は $K$ の Seifert 行列 $V$ に対する対称行列 $V+V^T$ の符号数（正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）とする。ただし、この規約で正の三葉結び目 $T(2,3)$ の符号数は $-2$ となるように向きを取る。

$g(K)$ と $\sigma (K)$ をこの順に組 $(g(K),\sigma (K))$ で求めよ。

$S^3$ 内の結び目 $K$ が、種数 $2$ の連結で向き付け可能なザイフェルト曲面 $F$ を境界としてもつとする。$H_1(F;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^4$ のある基底 $a_1,a_2,a_3,a_4$ に関するザイフェルト行列 $V=(V_{ij})$（$V_{ij}=\mathrm{lk}(a_i,a_j^{+})$、$a_j^{+}$ は $a_j$ を $F$ の正の側へ押し出したもの）が
$$V=\left(\begin{array}{cccc}-1& 1& 2& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 2& 0& -1& 1\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$$
であった。

結び目の種数 $g(K)$ を、$K$ を境界とする $S^3$ 内の連結で向き付け可能な曲面の種数の最小値とし、符号数 $\sigma (K)$ を対称行列 $V+V^T$ の符号数（正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）とする。アレクサンダー多項式は ${\Delta }_K(t)=\det (V-t{V}^T)$ で定める。

組 $(g(K),\sigma (K))$ をこの順に求めよ。

5 本の紐のブレイド群 $B_5$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4$ とする。${\sigma }_i$ は $i$ 番目の位置の紐と $i+1$ 番目の位置の紐が交差する 1 つの交点を表し、閉包の各紐にブレイドの進む向きに沿って向きを入れたとき、${\sigma }_i$ の交点の符号は $+1$、${\sigma }_i^{-1}$ の交点の符号は $-1$ とする。ブレイドの語は左から右へ順に読む。

ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_3^2{\sigma }_2^{-1}{\sigma }_4^4{\sigma }_2^{-1}{\sigma }_3^{-3}\in B_5$$
の閉包 $\hat{\beta }$ を、上と同じ向きを入れた有向絡み目とする。$\hat{\beta }$ の成分の個数を $\mu$、$\hat{\beta }$ の相異なる 2 成分 $K_i,K_j$ $(i<j)$ のすべての組についての絡み数の和を
$$\Lambda =\sum _{i<j}\mathrm{lk}(K_i,K_j)$$
とする。組 $(\mu ,\Lambda )$ をこの順に求めよ。

$n$ を $0$ でない整数とし、$2$ 本のひもからなるブレイド ${\sigma }_1^{2n}$ の閉包として得られる絡み目をトーラス絡み目 $T(2,2n)$ とする（$n<0$ のときは ${\sigma }_1^{2n}=({\sigma }_1^{-1}{)}^{2|n|}$ と解釈する）。

向きの付いた $2$ 成分絡み目 $L=K_1\cup K_2$ の図式 $D$ において、$K_1$ と $K_2$ が交わる交点（混合交点）の全体を $C_{12}(D)$ とし、各交点 $c$ には通常の右手系の規則で符号 $\epsilon (c)\in \{+1,-1\}$ を定める。絡み数を
$$\mathrm{lk}(K_1,K_2)=\frac{1}{2}\sum _{c\in C_{12}(D)}\epsilon (c)$$
で定める。この値が向き付き絡み目 $L$ の図式 $D$ の取り方によらない（向きを保ったライデマイスター移動で不変である）ことは用いてよい。また、絡み目 $L$ の図式 $D$ の交点の個数を $N(D)$ とし、$L$ の交点数 $c(L)$ を、$L$ のすべての図式 $D$ にわたる $N(D)$ の最小値と定める（交点数は向きによらない）。

このとき、$T(2,2n)$ の交点数が $c(T(2,2n))=2|n|$ であることを証明せよ。

$n\ge 2$ を整数とし、$n$ 本のひものブレイド群 $B_n$ を、生成元 ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_{n-1}$ と関係式
$${\sigma }_i{\sigma }_j={\sigma }_j{\sigma }_i(|i-j|\ge 2),{\sigma }_i{\sigma }_{i+1}{\sigma }_i={\sigma }_{i+1}{\sigma }_i{\sigma }_{i+1}(1\le i\le n-2)$$
によるアルティンの表示で定める。${\sigma }_i^{\pm 1}$ は、位置 $i$ と位置 $i+1$ のひもが $1$ 回交差する初等ブレイドを表す（${\sigma }_i$ と ${\sigma }_i^{-1}$ は交差の上下が逆）。

${\sigma }_1^{\pm 1},\dots ,{\sigma }_{n-1}^{\pm 1}$ からなる語 $w={\sigma }_{i_1}^{{\epsilon }_1}{\sigma }_{i_2}^{{\epsilon }_2}\cdots {\sigma }_{i_m}^{{\epsilon }_m}$（$m\ge 0$, ${\epsilon }_k\in \{1,-1\}$）に対し、その指数和を $e(w)={\sum }_{k=1}^m{\epsilon }_k$ とする。また、$w$ の文字を上から順に初等ブレイドとして並べたブレイドの図式で、上端の位置 $j$ の端点と下端の位置 $j$ の端点（$j=1,\dots ,n$）を互いに交わらない弧で結んで得られる絡み目の図式を、$w$ の閉包図式とよぶ。

語 $w$ の閉包図式が結び目（$1$ 成分の絡み目）を表すとする。このとき、$B_n$ において $w$ と同じ元を表す任意の語 $w^{\prime }$ に対して $e(w^{\prime })\equiv n-1(\mathrm{mod}2)$ であることを証明せよ。

$T(p,q)$ を正の（右手系の）$(p,q)$ トーラス結び目とし、結び目 $J$ の鏡像を $\overline{J}$ で表す。$S^3$ 内の向き付けられた結び目
$$K=T(3,7)\#\overline{T(2,5)}$$
を考える。

結び目の種数 $g(K)$ は、$S^3$ 内で $K$ を境界とする連結で向き付け可能な曲面の種数の最小値とする。符号数 $\sigma (K)$ は、$K$ の任意のザイフェルト行列 $V$ に対する対称行列 $V+V^T$ の符号数（正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）とする。この規約では、右手系の三葉結び目 $T(2,3)$ の符号数は $-2$ である。

組 $(g(K),\sigma (K))$ をこの順に求めよ。

3 本の紐のブレイド群 $B_3$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ とする。$n$ を正の整数とし、ブレイド
$${\beta }_n=({\sigma }_1{\sigma }_2^{-1}{)}^n\in B_3$$
の閉包として得られる（向き付けられた）絡み目を $L_n$ とする（例えば $L_2$ は $4_1$、$L_3$ はボロミアン環である）。

絡み目 $L$ の行列式を $\det (L)=|{\Delta }_L(-1)|$ で定める。ここで ${\Delta }_L(t)$ は $L$ の 1 変数アレクサンダー多項式（単数 $\pm t^k$ 倍の差を除いて定まる）である。

次の事実を用いてよい。$B_3$ の被約ビュラウ表現 $\psi :B_3\to G{L}_2(\mathbb{Z}[t,t^{-1}])$ は
$$\psi ({\sigma }_1)=\left(\begin{array}{cc}-t& 1\\ 0& 1\end{array}\right),\psi ({\sigma }_2)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ t& -t\end{array}\right)$$
で与えられ、任意の $\beta \in B_3$ に対してその閉包 $\hat{\beta }$ について
$$(1+t+t^2){\Delta }_{\hat{\beta }}(t)\doteq \det (I-\psi (\beta ))$$
（$\doteq$ は単数 $\pm t^k$ 倍の差を除いて等しいことを表す）が成り立つ。

$\det (L_n)$ を $n$ の式で表せ。

${\mathbb{C}}^2$ の単位球面 $S^3=\{(z,w)\in {\mathbb{C}}^2:|z{|}^2+|w{|}^2=1\}$ を考える。$S^3$ には、${\mathbb{C}}^2={\mathbb{R}}^4$ の向き $(\mathrm{Re}z,\mathrm{Im}z,\mathrm{Re}w,\mathrm{Im}w)$ から定まる単位球体の境界としての向きを入れる。

$p,q$ を互いに素な $2$ 以上の整数とし、円周 $S^1=\{t\in \mathbb{C}:|t|=1\}$ の $S^3$ への作用を
$$t\cdot (z,w)=(t^{p}z,t^{q}w)$$
で定める。

• $C_1=\{w=0\}\cap S^3$ と $C_2=\{z=0\}\cap S^3$ はそれぞれ 1 つの軌道であり、$C_1$ は $\arg z$ が増える向き、$C_2$ は $\arg w$ が増える向きに向き付ける。この向きの約束のもとで $\mathrm{lk}(C_1,C_2)=+1$ である。
• $zw\ne 0$ を満たす点の軌道を一般軌道とよぶ。一般軌道は $t=e^{i\theta }$ で $\theta$ を $0$ から $2\pi$ まで動かすと単純閉曲線を 1 周する。一般軌道は $\theta$ が増える向きに向き付ける。

$n$ を正の整数とし、相異なる $n$ 個の一般軌道 $K_1,\dots ,K_n$ をとる。$S^3$ 内の $(n+2)$ 成分の向き付けられた絡み目
$$L=C_1\cup C_2\cup K_1\cup \cdots \cup K_n$$
について、相異なる 2 成分のすべての組（$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{2}\right)$ 組）にわたる絡み数の総和
$$\Lambda =\sum _{\{X,Y\}}\mathrm{lk}(X,Y)$$
を $p,q,n$ の式で求めよ。

結び目 $K$ の図式 $D$ の各弧に $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ の元を 1 つずつ割り当てる。どの交点においても、上を通る弧の元を $a$、その交点で分断される 2 本の下の弧の元を $b,c$ とするとき
$$2a\equiv b+c(\mathrm{mod}9)$$
が成り立つ割り当てを、$D$ の Fox $9$ 彩色とよぶ。すべての弧に同じ元を割り当てる自明な彩色も含めて数える。この個数はライデマイスター移動で変わらないので、結び目の不変量である。これを ${\mathrm{Col}}_9(K)$ と書く。

Rolfsen の表の結び目 $6_1$, $7_7$, $9_1$ はいずれも 2 橋結び目である。そのアレクサンダー多項式は（$\Delta (t)=\Delta (t^{-1})$ となるように正規化して）次のとおりである。
$${\Delta }_{6_1}(t)=-2t+5-2t^{-1},{\Delta }_{7_7}(t)=t^2-5t+9-5t^{-1}+t^{-2},$$
$${\Delta }_{9_1}(t)=t^4-t^3+t^2-t+1-t^{-1}+t^{-2}-t^{-3}+t^{-4}.$$
連結和 $K=6_1\#7_7\#9_1$ に対して、${\mathrm{Col}}_9(K)$ を求めよ。

向き付けられた絡み目 $L$ のジョーンズ多項式 $V_L(t)$ を、自明な結び目 $O$ に対して $V_O(t)=1$、およびスケイン関係式
$$t^{-1}{V}_{L_{+}}(t)-t{V}_{L_{-}}(t)=\left(t^{1/2}-t^{-1/2}\right)V_{L_0}(t)$$
で定める（$L_{+},L_{-},L_0$ は 1 つの交差の近くだけが正の交差・負の交差・平滑化で異なる絡み目）。

$p,q$ を互いに素な $2$ 以上の整数とし、$K=T(p,q)$ を正の（右手系の）$(p,q)$ トーラス結び目とする。$V_K(t)$ を $t$ について 2 回微分した $V_K^{\prime \prime }(t)$ の $t=1$ での値 $V_K^{\prime \prime }(1)$ を $p,q$ の式で求めよ。

Rolfsen の表の結び目 $K=9_{46}$ を考える。$K$ はプレッツェル結び目 $P(3,3,-3)$ と同じ結び目である。

2 以上の整数 $n$ に対し、$K$ の図式のフォックス $n$ 彩色とは、図式の各弧に $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の元を割り当てる方法であって、各交点で上を通る弧の色を $a$、下を通る 2 本の弧の色を $b,c$ とするとき
$$2a\equiv b+c(\mathrm{mod}n)$$
が成り立つものをいう（すべての弧が同じ色である自明な彩色も数える）。この個数 $c_n(K)$ は図式の選び方によらない $K$ の不変量である。

$c_3(K),c_9(K),c_{15}(K)$ をこの順に組で求めよ。

奇数 $p,q,r$ に対し、プレッツェル結び目 $P(p,q,r)$ を次のように定める。上下に置いた 2 枚の円板を、横に並べた 3 本の帯でつなぐ。左から順に帯に $p$ 回、$q$ 回、$r$ 回の半ひねりを入れ（符号は半ひねりの向きを表し、負の数は逆向きの半ひねり $|\cdot |$ 回とする）、こうしてできた曲面の境界を $P(p,q,r)$ とする。$p,q,r$ がすべて奇数なので、$P(p,q,r)$ は結び目であり、この曲面は向き付け可能である。

向き付けられた絡み目 $L$ のコンウェイ多項式 ${\nabla }_L(z)$ を、自明な結び目 $O$ に対して ${\nabla }_O(z)=1$、およびスケイン関係式
$${\nabla }_{L_{+}}(z)-{\nabla }_{L_{-}}(z)=z{\nabla }_{L_0}(z)$$
で定める（$L_{+},L_{-},L_0$ は 1 つの交点の近くだけが異なる通常のスケイン三つ組）。コンウェイ多項式は結び目の向きによらず、アレクサンダー多項式 ${\Delta }_K(t)$ とは ${\Delta }_K(t)\doteq {\nabla }_K\left(t^{1/2}-t^{-1/2}\right)$ の関係にある。

$p,q,r$ がそれぞれ集合 $\{\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 7\}$ の元を動くとき、
$${\nabla }_{P(p,q,r)}(z)=1+2z^2$$
となる順序付きの組 $(p,q,r)$ の個数を求めよ（異なる組が同じ結び目を表す場合も、組としては別々に数える）。