結び目理論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学結び目理論

$T (p, q)$ を正の（右手系の） $(p, q)$ トーラス結び目とし、結び目 $J$ の鏡像を $J$ で表す。 $S^{3}$ 内の向き付けられた結び目
$K = T (3, 7) # T (2, 5)$
を考える。

結び目の種数 $g (K)$ は、 $S^{3}$ 内で $K$ を境界とする連結で向き付け可能な曲面の種数の最小値とする。符号数 $σ (K)$ は、 $K$ の任意のザイフェルト行列 $V$ に対する対称行列 $V + V^{T}$ の符号数（正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）とする。この規約では、右手系の三葉結び目 $T (2, 3)$ の符号数は $- 2$ である。

組 $(g (K), σ (K))$ をこの順に求めよ。

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ヒント

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ヒント 1

種数と符号数がそれぞれ連結和と鏡像に対してどう振る舞うかを考え、各トーラス結び目の値に帰着させましょう。

ヒント 2

$g (T (p, q)) = \frac{( p - 1 ) ( q - 1 )}{2}$ です。符号数は $σ (J) = - σ (J)$ を満たし、 $T (p, q)$ の符号数は $\frac{i}{p} + \frac{j}{q}$ が区間 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ に入るかどうかを数えるブリースコルンの公式で計算できます。

ヒント 3

$g (T (3, 7)) = 6$ 、 $g (T (2, 5)) = 2$ 、 $σ (T (2, 5)) = - 4$ です。あとは $\frac{7 i + 3 j}{21}$ （ $i = 1, 2$ 、 $j = 1, \dots, 6$ ）のうち区間 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ に入るものを数えましょう。

答えと解説

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(8, - 4)

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解説を読む

1. 種数. 正のトーラス結び目 $T (p, q)$ は正のブレイド $(σ_{1} \dots σ_{p - 1})^{q}$ の閉包である。この図式にザイフェルトのアルゴリズムを適用すると、ザイフェルト円 $p$ 個と帯 $(p - 1) q$ 本からなる曲面ができる。そのオイラー標数は $p - (p - 1) q$ であり、境界成分が 1 つなので種数は
$\frac{1 - ( p - ( p - 1 ) q )}{2} = \frac{( p - 1 ) ( q - 1 )}{2}$
となる。一方、アレクサンダー多項式
$Δ (t) = \frac{( t ^{pq} - 1 ) ( t - 1 )}{( t ^{p} - 1 ) ( t ^{q} - 1 )}$
の次数は $(p - 1) (q - 1) = 2 g$ である。 $de g Δ \leq 2 g (K)$ という下界から、これが最小であることがわかる。よって
$g (T (3, 7)) = \frac{2 \cdot 6}{2} = 6, g (T (2, 5)) = \frac{1 \cdot 4}{2} = 2.$
鏡像をとっても種数は変わらない。また種数は連結和について加法的である（シューベルトの定理）。したがって
$g (K) = 6 + 2 = 8.$

2. 符号数. 符号数は連結和について加法的である。ザイフェルト行列が直和 $V_{1} \oplus V_{2}$ になるからである。また、鏡像のザイフェルト行列は $- V$ でとれるので、 $σ (J) = - σ (J)$ が成り立つ。

$T (2, 5)$ は $σ_{1}^{5}$ の閉包である。ザイフェルト行列として、対角成分が $- 1$ 、すぐ上の成分が $1$ 、他が $0$ である $4 \times 4$ 行列 $V$ がとれる。 $V + V^{T}$ は対角成分 $- 2$ 、隣接成分 $1$ の三重対角行列で、負定値である。主小行列式は順に $- 2, 3, - 4, 5$ で符号が交互に変わる。よって $σ (T (2, 5)) = - 4$ であり、 $σ (T (2, 5)) = + 4$ となる。

- $T (3, 7)$ にはブリースコルン（Brieskorn）の公式を使う。 $1 \leq i \leq p - 1, 1 \leq j \leq q - 1$ の組 $(i, j)$ について $s = \frac{i}{p} + \frac{j}{q}$ を考え、
$σ (T (p, q)) = # {s \in / (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})} - # {s \in (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})}$
とする。この公式は $T (2, 3)$ に対して $\frac{5}{6}, \frac{7}{6} \in (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ より $- 2$ を与え、問題の規約と一致する。

$p = 3, q = 7$ のとき $s = \frac{7 i + 3 j}{21}$ である。
- $i = 1$ ： $s = \frac{10}{21}, \frac{13}{21}, \frac{16}{21}, \frac{19}{21}, \frac{22}{21}, \frac{25}{21}$ 。区間外は $\frac{10}{21} < \frac{1}{2}$ の 1 個、区間内は 5 個。
- $i = 2$ ： $s = \frac{17}{21}, \frac{20}{21}, \frac{23}{21}, \frac{26}{21}, \frac{29}{21}, \frac{32}{21}$ 。区間外は $\frac{32}{21} > \frac{3}{2}$ の 1 個、区間内は 5 個。

よって $σ (T (3, 7)) = 2 - 10 = - 8$ である。

したがって
$σ (K) = - 8 + 4 = - 4.$

以上より $(g (K), σ (K)) = (8, - 4)$ である。

別解

種数はザイフェルトの定理により連結和で加法的なので、 $g (K) = g (T (3, 7)) + g (T (2, 5))$ となる。 $g (T (p, q)) = (p - 1) (q - 1) /2$ より $g (T (3, 7)) = 6$ 、 $g (T (2, 5)) = 2$ で、鏡像をとっても種数は変わらないから $g (K) = 8$ 。

符号数は連結和で加法的であり、鏡像で符号が反転する。

トーラス結び目の符号数は、対 $(i, j)$ （ $1 \leq i \leq p - 1, 1 \leq j \leq q - 1$ ）について $s = i / p + j / q$ を数えて求める。 $s \in (1/2, 3/2)$ にある対を「内側」、それ以外を「外側」とすると、 $∣ σ ∣ = (内側の個数) - (外側の個数)$ 。

$T (3, 7)$ では、 $i = 1$ のとき外側は $j = 1$ のみ、 $i = 2$ のとき外側は $j = 6$ のみなので、外側は 2 個、内側は 10 個。よって $∣ σ ∣ = 8$ 。この規約では右手系の符号は負なので、 $σ (T (3, 7)) = - 8$ 。

$T (2, 5)$ については、 $s = 1/2 + j /5$ で $j = 1, \dots, 4$ を調べると、 $s = 0.7, 0.9, 1.1, 1.3$ はすべて内側なので $∣ σ ∣ = 4$ となり、 $σ (T (2, 5)) = - 4$ 。したがって $σ (T (2, 5)) = + 4$ 。

よって $σ (K) = - 8 + 4 = - 4$ 。

（検算：三葉結び目 $T (2, 3)$ では $s = 1/2 + j /3 = 0.833, 1.167$ が内側 2 個なので $∣ σ ∣ = 2$ となり、与えられた規約と一致する。）

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