結び目理論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル証明問題大学院数学結び目理論

$K$ を $S^{3}$ 内の向き付けられた結び目とし、 $F$ を $K$ の種数 $g$ の連結なザイフェルト曲面とする。 $H_{1} (F; Z) ≅ Z^{2 g}$ の基底 $a_{1}, \dots, a_{2 g}$ を $1$ つ選び、ザイフェルト行列を $V = (lk (a_{i}, a_{j}^{+}))_{i, j}$ （ $a_{j}^{+}$ は $a_{j}$ を $F$ の正の側に押し出したもの）で定める。 $K$ の符号数 $σ (K)$ を、実対称行列 $V + V^{T}$ の符号数（正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）と定める。 $g = 0$ のときは $V$ を $0 \times 0$ 行列とし、 $σ (K) = 0$ とする。

次の事実は用いてよい。
- $σ (K)$ はザイフェルト曲面と基底の選び方によらない。
- $V - V^{T}$ は $H_{1} (F; Z)$ の交叉形式を表す行列であり、 $det (V - V^{T}) = 1$ である。

$K$ の種数を $g (K)$ とするとき、 $σ (K)$ は偶数であり、かつ $∣ σ (K) ∣ \leq 2 g (K)$ であることを証明せよ。

この問題で使うもの

結び目の符号数（説明と入口の問題）
ザイフェルト行列とアレクサンダー多項式（説明と入口の問題）
行列式（説明と入口の問題）
対称行列の直交対角化（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（66 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$V + V^{T}$ が正則（ $0$ を固有値にもたない）であることを示せば、符号数の偶奇と上からの評価がどちらも行列のサイズ $2 g$ から出てくる。

ヒント 2

$V + V^{T}$ と $V - V^{T}$ の差は $2 V^{T}$ である。 $2$ を法として考えると行列式はどうなるか。

ヒント 3

$det (V + V^{T}) \equiv det (V - V^{T}) = 1 (mod 2)$ より $det (V + V^{T}) \neq = 0$ となる。このとき正・負の固有値の個数を $p, q$ とすると $p + q$ はいくつになるかを考える。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$V + V^{T}$ と $V - V^{T}$ の差が $2 V^{T}$ で、成分ごとに $2$ を法として合同であることを述べている（2 点）
行列式が成分の整数係数多項式であることから $det (V + V^{T}) \equiv det (V - V^{T}) = 1 (mod 2)$ を導き、 $V + V^{T}$ が正則であることを示している（3 点）
正則な $2 g$ 次実対称行列なので正・負の固有値の個数の和が $2 g$ になることから、 $σ (K)$ が偶数で $∣ σ (K) ∣ \leq 2 g$ であることを示している（3 点）
符号数の不変性を使って種数最小のザイフェルト曲面をとり、 $∣ σ (K) ∣ \leq 2 g (K)$ と結論している（ $g = 0$ の場合の扱いを含む）（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

$g = 0$ のときは $σ (K) = 0$ で、 $0$ は偶数かつ $∣0∣ \leq 2 g (K)$ なので主張は成り立つ。以下、 $F$ を $K$ の種数 $g \geq 1$ のザイフェルト曲面とし、 $V$ をその $2 g \times 2 g$ のザイフェルト行列とする。

(1) $det (V + V^{T})$ は奇数である. $V$ の成分は絡み数なので整数であり、 $V + V^{T}$ と $V - V^{T}$ はともに整数行列である。その差は
$(V + V^{T}) - (V - V^{T}) = 2 V^{T}$
で、すべての成分が偶数である。よって $V + V^{T}$ と $V - V^{T}$ は、成分ごとに $2$ を法として合同である。

行列式は成分の整数係数の多項式 $det A = \sum_{τ \in S_{2 g}} sgn (τ) \prod_{i} A_{i τ (i)}$ なので、成分ごとに $2$ を法として合同な整数行列 $A, B$ に対しては $det A \equiv det B (mod 2)$ が成り立つ。したがって、与えられた事実 $det (V - V^{T}) = 1$ から
$det (V + V^{T}) \equiv det (V - V^{T}) = 1 (mod 2)$
となり、 $det (V + V^{T})$ は奇数である。特に $det (V + V^{T}) \neq = 0$ である。

(2) 符号数の偶奇と大きさ. $S = V + V^{T}$ は $2 g \times 2 g$ の実対称行列なので、実数の範囲で直交行列により対角化でき、固有値はすべて実数で、重複を込めて $2 g$ 個ある。正の固有値の個数を $p$ 、負の固有値の個数を $q$ 、 $0$ である固有値の個数を $r$ とすると $p + q + r = 2 g$ である。 $det S$ は固有値の積で、 $(1)$ より $0$ でないので、 $0$ を固有値にもたず $r = 0$ である。よって $p + q = 2 g$ であり、
$σ (K) = p - q = 2 g - 2 q$
は偶数である。また
$∣ σ (K) ∣ = ∣ p - q ∣ \leq p + q = 2 g$
である。

(3) 種数との比較. $σ (K)$ はザイフェルト曲面の選び方によらないので、 $F$ として種数が最小、すなわち種数 $g (K)$ のザイフェルト曲面をとってよい（結び目の種数はザイフェルト曲面の種数の最小値として定義され、ザイフェルト曲面は必ず存在するので最小値が実現される）。 $g (K) = 0$ の場合は最初に扱ったとおりであり、 $g (K) \geq 1$ の場合は $(2)$ を $g = g (K)$ として適用して $∣ σ (K) ∣ \leq 2 g (K)$ を得る。偶数であることは $(2)$ からどのザイフェルト曲面でも成り立つ。

以上より、 $σ (K)$ は偶数であり、 $∣ σ (K) ∣ \leq 2 g (K)$ である。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる