結び目理論の問題

$S^3$ 内の向き付けられた結び目 $K$ が、種数 $1$ の連結で向き付け可能なザイフェルト曲面 $F$ の境界になっており、$H_1(F;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^2$ のある基底に関するザイフェルト行列が
$$V=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$$
であるとする。$K$ の符号数 $\sigma (K)$ を、実対称行列 $V+V^T$ の正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いた値（重複度を込めて数える）と定める。$\sigma (K)$ を求めよ。

$S^3$ 内の結び目 $K$ が、種数 $2$ の連結で向き付け可能なザイフェルト曲面 $F$ を境界としてもつとする。$H_1(F;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^4$ のある基底 $a_1,a_2,a_3,a_4$ に関するザイフェルト行列 $V=(V_{ij})$（$V_{ij}=\mathrm{lk}(a_i,a_j^{+})$、$a_j^{+}$ は $a_j$ を $F$ の正の側へ押し出したもの）が
$$V=\left(\begin{array}{cccc}-1& 1& 2& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 2& 0& -1& 1\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$$
であった。

結び目の種数 $g(K)$ を、$K$ を境界とする $S^3$ 内の連結で向き付け可能な曲面の種数の最小値とし、符号数 $\sigma (K)$ を対称行列 $V+V^T$ の符号数（正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）とする。アレクサンダー多項式は ${\Delta }_K(t)=\det (V-t{V}^T)$ で定める。

組 $(g(K),\sigma (K))$ をこの順に求めよ。

$S^3$ 内の向き付けられた結び目 $K$ が、種数 $1$ の連結で向き付け可能なザイフェルト曲面 $F$ を境界としてもつとする。$H_1(F;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^2$ の基底 $a_1,a_2$ をとり、$a_j^{+}$ を $a_j$ を $F$ の正の法線方向に少し押し出した曲線とする。絡み数 $V_{ij}=\mathrm{lk}(a_i,a_j^{+})$ を並べたザイフェルト行列が
$$V=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$$
であった。$t$ を変数とする多項式 $\det (V-t{V}^T)$ を求めよ（$V^T$ は $V$ の転置行列）。

$K$ を $S^3$ 内の向き付けられた結び目とし、$F$ を $K$ の種数 $g$ の連結なザイフェルト曲面とする。$H_1(F;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^{2g}$ の基底 $a_1,\dots ,a_{2g}$ を $1$ つ選び、ザイフェルト行列を $V=(\mathrm{lk}(a_i,a_j^{+}){)}_{i,j}$（$a_j^{+}$ は $a_j$ を $F$ の正の側に押し出したもの）で定める。$K$ の符号数 $\sigma (K)$ を、実対称行列 $V+V^T$ の符号数（正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）と定める。$g=0$ のときは $V$ を $0\times 0$ 行列とし、$\sigma (K)=0$ とする。

次の事実は用いてよい。
- $\sigma (K)$ はザイフェルト曲面と基底の選び方によらない。
- $V-V^T$ は $H_1(F;\mathbb{Z})$ の交叉形式を表す行列であり、$\det (V-V^T)=1$ である。

$K$ の種数を $g(K)$ とするとき、$\sigma (K)$ は偶数であり、かつ $|\sigma (K)|\le 2g(K)$ であることを証明せよ。

$p,q,r$ を奇数とし、$P(p,q,r)$ をプレッツェル結び目とする（$p,q,r$ がすべて奇数なので $P(p,q,r)$ は結び目である）。$P(p,q,r)$ には標準的な種数 $1$ のザイフェルト曲面 $F$ があり、$H_1(F;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^2$ のある基底に関するザイフェルト行列は
$$V_{p,q,r}=-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}p+q& q+1\\ q-1& q+r\end{array}\right)$$
で与えられるものとする（この規約では $P(1,1,1)$ は正の三葉結び目で、符号数は $-2$ となる）。結び目 $K$ の符号数 $\sigma (K)$ は、$K$ の任意のザイフェルト行列 $V$ に対する対称行列 $V+V^T$ の符号数（正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）と定める。これはザイフェルト曲面と基底の選び方によらない。

奇数 $r$ に対して $K_r=P(-3,5,r)$ とおく。$-49\le r\le 49$ を満たすすべての奇数 $r$ にわたる和
$$\sum _{\begin{array}{c}-49\le r\le 49\\ r:\text{odd}\end{array}}\sigma (K_r)$$
を求めよ。