絡み数

2 成分の間の交点の符号の和の半分として、絡み数 $lk (K_{i}, K_{j}) = \frac{1}{2} \sum_{c} ε (c)$ を求められる。ブレイドの閉包では、異なる成分に属する紐どうしの交差 $σ_{i}^{\pm 1}$ の符号を数えて、全成分対の絡み数の和 $\sum_{i < j} lk (K_{i}, K_{j})$ を求められる

前提

ブレイドの置換と閉包の成分数（大学院数学結び目理論）

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算数中学高校大学大学院

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ブレイドの置換と閉包の成分数（大学院数学結び目理論）

説明

向き付けられた絡み目の 2 つの成分 $K_{i}, K_{j}$ が「互いに何回巻き付いているか」を整数で測るのが絡み数 $lk (K_{i}, K_{j})$ です。図式の上で、 $K_{i}$ と $K_{j}$ が交わる交点（片方が上、もう片方が下）だけを集め、その符号の和を 2 で割れば求まります。ブレイドの閉包で表された絡み目なら、ブレイドの語の各文字 $σ_{i}^{\pm 1}$ がどの成分どうしの交差かを判定するだけで、全成分対の絡み数の和を計算できます。

なぜそうしてよいのか

向きのついた交点には符号を定めます。上の弧の向きの矢印を下の弧の向きの矢印に向かって反時計回りに回すと重なる（右手系の）とき $ε (c) = + 1$ 、時計回りのとき $ε (c) = - 1$ です。2 つの成分の間の交点の符号の和 $\sum_{c} ε (c)$ は図式の取り方によりません。ライデマイスター移動で確かめると、ねじれ（R1）で生じる交点は同じ成分の自己交差なので数えず、2 本の弧を重ねる移動（R2）では符号が逆の 2 交点が同時に現れたり消えたりして和は変わらず、R3 では交点の組と符号がそのまま保たれるからです。

平面上の閉曲線 $K_{i}$ の内と外を $K_{j}$ が行き来するので、 $K_{i}$ と $K_{j}$ の交点は偶数個あり、さらに「 $K_{i}$ が上の交点の符号の和」と「 $K_{j}$ が上の交点の符号の和」は等しいことが知られています。そこで両者の平均、つまり全体の和の半分を絡み数と定めると、 $K_{i}$ と $K_{j}$ について対称な整数になります: $lk (K_{i}, K_{j}) = \frac{1}{2} \sum_{c \in K_{i} \cap K_{j}} ε (c)$ 。

ブレイドの閉包 $β^$ では、すべての紐が同じ向き（上から下）に進むので、標準的な約束では $σ_{i}$ は符号 $+ 1$ 、 $σ_{i}^{- 1}$ は符号 $- 1$ の交点です。 $σ_{i}^{\pm 1}$ は、その時点で位置 $i$ と $i + 1$ にある 2 本の紐の交差なので、2 本がどの成分に属するかを追えば、自己交差か異なる成分の間の交差かがわかります。異なる成分の間の交差の符号をすべて足して 2 で割れば、各成分対の和をまとめた $\sum_{i < j} lk (K_{i}, K_{j})$ になります。

手順

ブレイドの語から置換を求め、巡回置換分解で閉包の成分と、各紐（上端の位置）が属する成分を決める
上端での各位置の成分を並べて書き、語を左から読みながら、 $σ_{i}^{\pm 1}$ のたびに位置 $i$ と $i + 1$ の成分を入れ替えて追跡する
各文字 $σ_{i}^{\pm 1}$ で、位置 $i$ と $i + 1$ の成分が同じなら自己交差として捨て、異なればその成分対に符号 $\pm 1$ （ $σ_{i}$ なら $+ 1$ 、 $σ_{i}^{- 1}$ なら $- 1$ ）を記録する
成分対ごとに符号を足して 2 で割り、 $lk (K_{a}, K_{b}) = \frac{1}{2} \sum ε (c)$ を求める
全成分対の和が必要なら、それらを足す（異なる成分間の交差の符号の総和の半分に等しい）

例題

$β = σ_{1}^{3} σ_{2}^{- 2} σ_{3}^{4} \in B_{4}$ の閉包 $β^$ を考える。紐はすべて上から下へ向き付け、 $σ_{i}$ を正の交点、 $σ_{i}^{- 1}$ を負の交点とする。全成分対の絡み数の和 $\sum_{a < b} lk (K_{a}, K_{b})$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: 置換は $σ_{1}^{3} \mapsto (12)^{3} = (12)$ 、 $σ_{2}^{- 2} \mapsto (23)^{2} = id$ 、 $σ_{3}^{4} \mapsto (34)^{4} = id$ より $(12)$ 。巡回置換分解は $(12) (3) (4)$ なので成分は 3 つで、位置 1, 2 の紐が成分 $A$ 、位置 3 が成分 $B$ 、位置 4 が成分 $C$ 。

手順 2・3: 上端の並びは $(A, A, B, C)$ 。
- $σ_{1}^{3}$ : 位置 1, 2 はどちらも $A$ なので 3 つとも自己交差で捨てる。並びは $(A, A, B, C)$ のまま。
- $σ_{2}^{- 1}$ （1 回目）: 位置 2, 3 は $A, B$ で異なる成分。 $A$ – $B$ に $- 1$ 。並びは $(A, B, A, C)$ 。
- $σ_{2}^{- 1}$ （2 回目）: 位置 2, 3 は $B, A$ 。 $A$ – $B$ に $- 1$ 。並びは $(A, A, B, C)$ 。
- $σ_{3}$ （4 回）: 位置 3, 4 は入れ替わりながら常に $B$ と $C$ 。 $B$ – $C$ に $+ 1$ を 4 回。

手順 4: $lk (A, B) = \frac{1}{2} (- 1 - 1) = - 1$ 、 $lk (B, C) = \frac{1}{2} (1 + 1 + 1 + 1) = 2$ 、 $A$ – $C$ の交差はないので $lk (A, C) = 0$ 。

手順 5: 和は $- 1 + 2 + 0 = 1$ （異なる成分間の符号の総和 $- 2 + 4 = 2$ の半分としても同じ）。

答え: $1$

よくある誤り

同じ成分どうしの交差（自己交差）まで数えてしまう誤り。例で $σ_{1}^{3}$ も入れて $\frac{1}{2} (3 - 2 + 4) = \frac{5}{2}$ などとする。正しくは異なる成分の間の交差だけを数え、 $\frac{1}{2} (- 2 + 4) = 1$
2 で割るのを忘れる誤り。 $lk (B, C)$ を $σ_{3}^{4}$ から $4$ としてしまう。正しくは交点の符号の和の半分で $lk (B, C) = \frac{4}{2} = 2$
各文字 $σ_{i}$ の「添字 $i$ の紐」が固定されていると考え、位置の入れ替わりを追わない誤り。例えば $σ_{1} σ_{2}$ の $σ_{2}$ を「紐 2 と紐 3 の交差」としてしまう。正しくは $σ_{1}$ の後では位置 2 にいるのは上端で位置 1 にあった紐なので、その紐が属する成分で判定する
符号を交点の見た目（どちらが上か）だけで決めてしまう誤り。符号は向きに依存し、1 つの成分の向きを逆にすると $lk (K_{i}, K_{j})$ は $- lk (K_{i}, K_{j})$ に変わる。ブレイドの閉包ではすべての紐を同じ向きにとるので、 $σ_{i}$ が $+ 1$ 、 $σ_{i}^{- 1}$ が $- 1$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
向き付けられた 2 成分絡み目 $L = K_{1} \cup K_{2}$ の図式 $D$ が 7 個の交点 $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{7}$ をもつ。各交点がどの成分どうしの交点か、およびその交点の符号 $ε (c)$ は次のとおりである。ここで符号は、上の弧の向きを下の弧の向きに反時計回りに $9 0^{\circ}$ 回して重なる交点（右手系の交点）を $+ 1$ 、そうでない交点を $- 1$ とする通常の規約による。
交点 $c_{1}$ $c_{2}$ $c_{3}$ $c_{4}$ $c_{5}$ $c_{6}$ $c_{7}$
成分 $K_{1}$ と $K_{2}$ $K_{1}$ と $K_{2}$ $K_{1}$ と $K_{1}$ $K_{1}$ と $K_{2}$ $K_{1}$ と $K_{2}$ $K_{1}$ と $K_{2}$ $K_{1}$ と $K_{2}$
符号 $+ 1$ $+ 1$ $- 1$ $- 1$ $+ 1$ $+ 1$ $+ 1$
（ $c_{3}$ は $K_{1}$ が自分自身と交わる交点である。）絡み数 $lk (K_{1}, K_{2})$ を求めよ。

絡み数

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

交点	$c_{1}$	$c_{2}$	$c_{3}$	$c_{4}$	$c_{5}$	$c_{6}$	$c_{7}$
成分	$K_{1}$ と $K_{2}$	$K_{1}$ と $K_{2}$	$K_{1}$ と $K_{1}$	$K_{1}$ と $K_{2}$	$K_{1}$ と $K_{2}$	$K_{1}$ と $K_{2}$	$K_{1}$ と $K_{2}$
符号	$+ 1$	$+ 1$	$- 1$	$- 1$	$+ 1$	$+ 1$	$+ 1$