ジョーンズ多項式のスケイン関係式による計算

$t^{- 1} V_{L_{+}} - t V_{L_{-}} = (t^{1/2} - t^{- 1/2}) V_{L_{0}}$ と $V_{O} = 1$ から、自明な絡み目・ホップ絡み目・三葉結び目・8 の字結び目などのジョーンズ多項式を求められる

前提

絡み数（大学院数学結び目理論）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）

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算数中学高校大学大学院

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説明

ジョーンズ多項式 $V_{L} (t)$ は、向き付けられた絡み目 $L$ に $t^{1/2}$ のローラン多項式（負のべきも許す多項式）を対応させる不変量です。1 つの交点だけが違う 3 つの絡み目 $L_{+}, L_{-}, L_{0}$ の間の関係式（スケイン関係式）
$t^{- 1} V_{L_{+}} - t V_{L_{-}} = (t^{1/2} - t^{- 1/2}) V_{L_{0}}$
と、自明な結び目で $V_{O} = 1$ という約束だけから、交点を 1 つずつ外していくことで計算できます。小さな絡み目（自明な絡み目・ホップ絡み目・三葉結び目・8 の字結び目など）の値を順に積み上げて求めるのが基本の使い方です。

なぜそうしてよいのか

$L_{+}, L_{-}, L_{0}$ は、ある小さな円板の外では同じで、円板の中だけが違う向き付き絡み目です。 $L_{+}$ では円板の中の交点が正（上の弧の向きを反時計回りに回すと下の弧の向きに重なる）、 $L_{-}$ ではその交点の上下を入れ替えて負の交点にしたもの、 $L_{0}$ では交点をなくし、2 本の弧を向きに沿ってつなぎ替えたもの（向きを保つ平滑化）です。 $L_{+}$ と $L_{-}$ の一方が分かっていれば、交点を外した $L_{0}$ は交点が 1 つ少ないので、関係式から残りの 1 つが決まります。どんな図式も交点の上下をいくつか入れ替えれば自明な絡み目にほどけるので、これを繰り返せば必ず自明な絡み目まで下りられます（関係式をみたす不変量が存在することは認めて使います）。

まず $n$ 成分の自明な絡み目 $O_{n}$ を求めます。自明な結び目に正のねじれを 1 つ入れた図式を $L_{+}$ とすると、上下を入れ替えた $L_{-}$ も自明な結び目で、平滑化した $L_{0}$ は 2 成分の自明な絡み目 $O_{2}$ です。よって $t^{- 1} \cdot 1 - t \cdot 1 = (t^{1/2} - t^{- 1/2}) V_{O_{2}}$ 。 $t^{- 1} - t = - (t^{1/2} - t^{- 1/2}) (t^{1/2} + t^{- 1/2})$ なので $V_{O_{2}} = - (t^{1/2} + t^{- 1/2})$ です。同じ議論をほかの成分から離れた所で行うと $V_{O_{n + 1}} = - (t^{1/2} + t^{- 1/2}) V_{O_{n}}$ 、つまり $V_{O_{n}} = (- (t^{1/2} + t^{- 1/2}))^{n - 1}$ がわかります。

この値を使い、ホップ絡み目（ $L_{0}$ が自明な結び目、 $L_{-}$ が $O_{2}$ ）、三葉結び目（ $L_{0}$ がホップ絡み目、 $L_{-}$ が自明な結び目）、のように 1 段ずつ上がっていきます。なお、絡み目全体を鏡像にすると $V_{L} (t)$ は $V_{L} (t^{- 1})$ に変わります。

手順

計算したい絡み目の図式で交点を 1 つ選び、その符号から自分が $L_{+}$ か $L_{-}$ かを決める（向きを必ず確認する）
その交点の上下を入れ替えた絡み目と、向きを保って平滑化した絡み目 $L_{0}$ を描き、それぞれ何の絡み目か（成分数も）を判定する
わかっている値（ $V_{O} = 1$ 、 $V_{O_{2}} = - (t^{1/2} + t^{- 1/2})$ など）を関係式 $t^{- 1} V_{L_{+}} - t V_{L_{-}} = (t^{1/2} - t^{- 1/2}) V_{L_{0}}$ に代入する
求めたい $V$ について解く。 $L_{+}$ を求めるなら $V_{L_{+}} = t^{2} V_{L_{-}} + t (t^{1/2} - t^{- 1/2}) V_{L_{0}}$ 、 $L_{-}$ なら $V_{L_{-}} = t^{- 2} V_{L_{+}} - t^{- 1} (t^{1/2} - t^{- 1/2}) V_{L_{0}}$
指数法則 $t^{a} t^{b} = t^{a + b}$ で展開して整理し、必要なら $t = 1$ を代入して $V_{L} (1) = (- 2)^{(成分数) - 1}$ になることで検算する

例題

2 つの成分の絡み数が $+ 1$ となるように向き付けたホップ絡み目 $H_{+}$ （2 つの交点はどちらも正）のジョーンズ多項式 $V_{H_{+}} (t)$ を求めよ。ただし $V_{O} = 1$ 、スケイン関係式は $t^{- 1} V_{L_{+}} - t V_{L_{-}} = (t^{1/2} - t^{- 1/2}) V_{L_{0}}$ とする。

例題の解答

手順 1: $H_{+}$ の 2 つの交点の一方を選ぶ。正の交点なので $H_{+} = L_{+}$ 。

手順 2: この交点の上下を入れ替えると 2 つの成分ははずれ、 $L_{-}$ は 2 成分の自明な絡み目 $O_{2}$ 。向きを保って平滑化すると 2 成分が 1 本につながり、残る交点は 1 つだけなので $L_{0}$ は自明な結び目 $O$ 。

手順 3: $V_{O_{2}} = - (t^{1/2} + t^{- 1/2})$ 、 $V_{O} = 1$ を代入して
$t^{- 1} V_{H_{+}} - t \cdot (- (t^{1/2} + t^{- 1/2})) = (t^{1/2} - t^{- 1/2}) \cdot 1.$

手順 4: $t^{- 1} V_{H_{+}} = t^{1/2} - t^{- 1/2} - t^{3/2} - t^{1/2} = - t^{- 1/2} - t^{3/2}$ 。両辺に $t$ を掛けて $V_{H_{+}} = - t^{1/2} - t^{5/2}$ 。

手順 5: $t = 1$ で $- 2 = (- 2)^{2 - 1}$ となり検算に合う。

答え: $- t^{1/2} - t^{5/2}$

よくある誤り

$L_{+}$ と $L_{-}$ を取り違える誤り。ホップ絡み目 $H_{+}$ を $L_{-}$ として扱うと $V = t^{- 2} \cdot (- (t^{1/2} + t^{- 1/2})) - t^{- 1} (t^{1/2} - t^{- 1/2}) = - t^{- 1/2} - t^{- 5/2}$ となり、これは負のホップ絡み目 $H_{-}$ の値。正しくは交点の符号を向きから判定し、 $H_{+}$ は $L_{+}$ で $- t^{1/2} - t^{5/2}$
平滑化を向きに沿わずに行う誤り。向きと逆につなぐと絡み目の向きが定まらない図形になり、関係式は使えない。正しくは $L_{0}$ は入ってくる 2 本の弧をそれぞれ出ていく弧へ、向きを保ったまま横につなぎ替える
2 成分の自明な絡み目の値を $V_{O_{2}} = 1$ や $0$ としてしまう誤り。正しくは $V_{O_{2}} = - (t^{1/2} + t^{- 1/2})$ で、 $n$ 成分なら $(- (t^{1/2} + t^{- 1/2}))^{n - 1}$
半整数べきの計算を誤る誤り。 $t \cdot t^{1/2} = t^{1/2}$ や $t^{- 1} \cdot t^{1/2} = t^{- 3/2}$ とするなど。正しくは $t \cdot t^{1/2} = t^{3/2}$ 、 $t^{- 1} \cdot t^{1/2} = t^{- 1/2}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
向き付けられた絡み目 $L$ のジョーンズ多項式 $V_{L} (t)$ は、整数係数のローラン多項式環 $Z [t^{1/2}, t^{- 1/2}]$ の元であり、絡み目の同位類（向きを含む）だけで決まって、次の 2 つの条件を満たす。
- 自明な結び目 $O$ に対して $V_{O} (t) = 1$
- 1 つの交点の近くだけが異なり、その交点がそれぞれ正の交点・負の交点・向きに沿った平滑化になっている 3 つの向き付けられた絡み目 $L_{+}, L_{-}, L_{0}$ に対して
$t^{- 1} V_{L_{+}} (t) - t V_{L_{-}} (t) = (t^{1/2} - t^{- 1/2}) V_{L_{0}} (t)$
2 本のひもからなるブレイド群の生成元を $σ_{1}$ とし、各ひもにブレイドの向き（上から下へ）を入れて閉包をとったとき、 $σ_{1}$ の交点が正の交点になるように $σ_{1}$ を定める。整数 $k$ に対し、ブレイドの語 $σ_{1}^{k}$ の閉包（向きはブレイドの向きから定まるもの）を $L_{k}$ と書く。
$L_{2}$ （ホップ絡み目）と $L_{3}$ （三葉結び目 $3_{1}$ の一方の鏡像）のジョーンズ多項式が
$V_{L_{2}} (t) = - t^{1/2} - t^{5/2}, V_{L_{3}} (t) = t + t^{3} - t^{4}$
であることを用いて、トーラス絡み目 $T (2, 4)$ にあたる $L_{4}$ のジョーンズ多項式 $V_{L_{4}} (t)$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ジョーンズ多項式の特殊値と微分（大学院数学結び目理論）