ジョーンズ多項式の特殊値と微分

結び目 $K$ について、 $V_{K} (1) = 1$ 、 $V_{K}^{'} (1) = 0$ 、 $V_{K}^{''} (1) = - 6 a_{2} (K)$ を使える（ $a_{2}$ はコンウェイ多項式の $z^{2}$ の係数）。これらをスケイン関係式から確かめ、ジョーンズ多項式の $t = 1$ での 2 階微分の値を求められる

前提

ジョーンズ多項式のスケイン関係式による計算（大学院数学結び目理論）
コンウェイ多項式とスケイン関係式（大学院数学結び目理論）
積と商の微分（数学III 微分法）

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算数中学高校大学大学院

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説明

結び目 $K$ のジョーンズ多項式 $V_{K} (t)$ は、 $t = 1$ の近くでの振る舞いがきわめて制限されていて、 $V_{K} (1) = 1$ 、 $V_{K}^{'} (1) = 0$ 、 $V_{K}^{''} (1) = - 6 a_{2} (K)$ が成り立ちます（ $a_{2} (K)$ はコンウェイ多項式 $\nabla_{K} (z)$ の $z^{2}$ の係数）。これを使うと、ジョーンズ多項式そのものを求めなくても、コンウェイ多項式から $V_{K}^{''} (1)$ がすぐに求まります。逆に、計算したジョーンズ多項式がこの 3 つの式を満たすかを見れば、検算にもなります。

なぜそうしてよいのか

ジョーンズ多項式のスケイン関係式 $t^{- 1} V_{L_{+}} - t V_{L_{-}} = f (t) V_{L_{0}}$ （ $f (t) = t^{1/2} - t^{- 1/2}$ ）を $t = 1$ の近くで調べます。 $f (1) = 0$ 、 $f^{'} (t) = \frac{1}{2} t^{- 1/2} + \frac{1}{2} t^{- 3/2}$ より $f^{'} (1) = 1$ 、 $f^{''} (t) = - \frac{1}{4} t^{- 3/2} - \frac{3}{4} t^{- 5/2}$ より $f^{''} (1) = - 1$ です。まず $t = 1$ を代入すると右辺が $0$ になり $V_{L_{+}} (1) = V_{L_{-}} (1)$ 、つまり交点の入れ替えで $V (1)$ は変わりません。交点を入れ替えればどの絡み目も自明な絡み目にできるので、 $r$ 成分の絡み目では $V_{L} (1)$ は $r$ 成分の自明な絡み目の値 $(- 2)^{r - 1}$ に等しく（自明な絡み目のジョーンズ多項式 $(- (t^{1/2} + t^{- 1/2}))^{r - 1}$ に $t = 1$ を代入）、特に結び目では $V_{K} (1) = 1$ です。

次に関係式を 1 回微分して $t = 1$ を代入すると $- V_{L_{+}} (1) + V_{L_{+}}^{'} (1) - V_{L_{-}} (1) - V_{L_{-}}^{'} (1) = V_{L_{0}} (1)$ 。結び目の自己交点なら $V_{L_{\pm}} (1) = 1$ 、 $L_{0}$ は 2 成分で $V_{L_{0}} (1) = - 2$ なので $V_{L_{+}}^{'} (1) = V_{L_{-}}^{'} (1)$ 。よって $V_{K}^{'} (1)$ は自明な結び目の値 $0$ に等しくなります。同じ式を 2 成分絡み目に使うと、成分間の交点では（ $V_{L_{\pm}} (1) = - 2$ 、 $L_{0}$ は結び目） $V_{L_{+}}^{'} (1) - V_{L_{-}}^{'} (1) = - 3$ となり、絡み数はちょうど $1$ 変わります。同じ成分の交点では（ $L_{0}$ は 3 成分で $V_{L_{0}} (1) = 4$ ） $V^{'} (1)$ も絡み数も変わりません。自明な絡み目では $V^{'} (1) = 0$ 、絡み数 $0$ なので、2 成分絡み目では $V_{L}^{'} (1) = - 3 lk (L)$ です（正のホップ絡み目 $V = - t^{1/2} - t^{5/2}$ で $- \frac{1}{2} - \frac{5}{2} = - 3$ と合います）。

最後に 2 回微分します。左辺の 2 階微分は積の微分で $(t^{- 1} V)^{''} = 2 t^{- 3} V - 2 t^{- 2} V^{'} + t^{- 1} V^{''}$ 、 $(t V)^{''} = 2 V^{'} + t V^{''}$ 、右辺は $f^{''} V_{0} + 2 f^{'} V_{0}^{'} + f V_{0}^{''}$ 。結び目の自己交点で $t = 1$ を代入し、 $V_{\pm} (1) = 1$ 、 $V_{\pm}^{'} (1) = 0$ 、 $V_{L_{0}} (1) = - 2$ 、 $V_{L_{0}}^{'} (1) = - 3 lk (L_{0})$ を使うと $2 + V_{K_{+}}^{''} (1) - V_{K_{-}}^{''} (1) = 2 - 6 lk (L_{0})$ 、すなわち $V_{K_{+}}^{''} (1) - V_{K_{-}}^{''} (1) = - 6 lk (L_{0})$ 。一方コンウェイ多項式では $\nabla_{K_{+}} - \nabla_{K_{-}} = z \nabla_{L_{0}}$ で、 $\nabla_{L_{0}}$ の $z$ の係数が $lk (L_{0})$ なので $a_{2} (K_{+}) - a_{2} (K_{-}) = lk (L_{0})$ 。したがって $V_{K}^{''} (1) + 6 a_{2} (K)$ は交点の入れ替えで変わらず、自明な結び目での値 $0$ に等しいので、 $V_{K}^{''} (1) = - 6 a_{2} (K)$ が得られます。

手順

対象が結び目（1 成分）であることを確かめる。3 つの式は結び目についての式である
コンウェイ多項式のスケイン関係式 $\nabla_{L_{+}} - \nabla_{L_{-}} = z \nabla_{L_{0}}$ で $\nabla_{K} (z)$ を求め、 $z^{2}$ の係数 $a_{2} (K)$ を読み取る
$V_{K}^{''} (1) = - 6 a_{2} (K)$ を計算する。あわせて $V_{K} (1) = 1$ 、 $V_{K}^{'} (1) = 0$ も成り立つ
ジョーンズ多項式 $V_{K} (t) = \sum_{k} c_{k} t^{k}$ がわかっている場合は、 $t^{k}$ の 2 階微分の $t = 1$ での値が $k (k - 1)$ であることから $V_{K}^{''} (1) = \sum_{k} c_{k} k (k - 1)$ と直接計算し、 $- 6 a_{2}$ と一致するかで検算する（ $\sum c_{k} = 1$ 、 $\sum c_{k} k = 0$ も確かめられる）

例題

2 本の紐のブレイドの語 $σ_{1}^{5}$ の閉包として表される結び目 $K$ （トーラス結び目 $T (2, 5)$ ）を考える。ジョーンズ多項式はスケイン関係式 $t^{- 1} V_{L_{+}} - t V_{L_{-}} = (t^{1/2} - t^{- 1/2}) V_{L_{0}}$ と $V_{O} = 1$ で定める。 $V_{K}^{''} (1)$ の値を求めよ。

例題の解答

手順 1: $σ_{1}^{5}$ の置換は互換 $(12)$ の 5 乗で $(12)$ なので、2 本の紐はつながり、閉包は結び目である。

手順 2: $σ_{1}^{n}$ の閉包のコンウェイ多項式を $\nabla_{n}$ とする。最後の $σ_{1}$ の交点（正の交点）でスケイン関係式を使うと、入れ替えで $σ_{1}^{n - 2}$ 、平滑化で $σ_{1}^{n - 1}$ になるので $\nabla_{n} = \nabla_{n - 2} + z \nabla_{n - 1}$ 。初期値 $\nabla_{0} = 0$ （2 成分の自明な絡み目）、 $\nabla_{1} = 1$ （自明な結び目）から
$\nabla_{2} = z, \nabla_{3} = 1 + z^{2}, \nabla_{4} = 2 z + z^{3}, \nabla_{5} = (1 + z^{2}) + z (2 z + z^{3}) = 1 + 3 z^{2} + z^{4} .$
よって $a_{2} (K) = 3$ 。

手順 3: $V_{K}^{''} (1) = - 6 a_{2} (K) = - 6 \cdot 3 = - 18.$

手順 4（検算）: この規約で $K$ のジョーンズ多項式は $V_{K} (t) = t^{2} + t^{4} - t^{5} + t^{6} - t^{7}$ である。 $V_{K} (1) = 1 + 1 - 1 + 1 - 1 = 1$ 、 $V_{K}^{'} (1) = 2 + 4 - 5 + 6 - 7 = 0$ 、 $V_{K}^{''} (1) = 2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 - 5 \cdot 4 + 6 \cdot 5 - 7 \cdot 6 = 2 + 12 - 20 + 30 - 42 = - 18$ となり、すべて一致する。

よって $V_{K}^{''} (1) = - 18$ 。

答え: $- 18$

よくある誤り

$a_{2}$ をアレクサンダー多項式の係数から読んでしまう誤り。例えば三葉結び目の $Δ (t) = t - 1 + t^{- 1}$ の中央の係数 $- 1$ を使うと $V^{''} (1) = 6$ となるが、正しくはコンウェイ多項式 $\nabla = 1 + z^{2}$ の $z^{2}$ の係数 $a_{2} = 1$ を使い、 $V^{''} (1) = - 6$ （実際 $V = t + t^{3} - t^{4}$ で $0 + 6 - 12 = - 6$ ）
符号を落として $V_{K}^{''} (1) = 6 a_{2} (K)$ としてしまう誤り。正しくは $V_{K}^{''} (1) = - 6 a_{2} (K)$ 。8 の字結び目では $\nabla = 1 - z^{2}$ 、 $a_{2} = - 1$ なので $V^{''} (1) = + 6$ （ $V = t^{2} - t + 1 - t^{- 1} + t^{- 2}$ で $2 + 0 + 0 - 2 + 6 = 6$ ）
$V (1) = 1$ 、 $V^{'} (1) = 0$ を絡み目にもそのまま使ってしまう誤り。これらは結び目についての式で、 $r$ 成分の絡み目では $V_{L} (1) = (- 2)^{r - 1}$ 、2 成分なら $V_{L}^{'} (1) = - 3 lk (L)$ となる。例えば正のホップ絡み目 $V = - t^{1/2} - t^{5/2}$ では $V (1) = - 2$ 、 $V^{'} (1) = - 3$
鏡像をとると $V^{''} (1)$ の符号が変わると考えてしまう誤り。鏡像では $V_{K} (t)$ が $V_{K} (t^{- 1})$ に変わるが、 $a_{2}$ は変わらないので $V^{''} (1)$ も同じ値になる。例えば三葉結び目の鏡像 $V = t^{- 1} + t^{- 3} - t^{- 4}$ でも $t^{- k}$ の 2 階微分の $t = 1$ での値 $k (k + 1)$ を使って $2 + 12 - 20 = - 6$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
向き付けられた絡み目 $L$ のジョーンズ多項式 $V_{L} (t)$ を、自明な結び目 $O$ に対して $V_{O} (t) = 1$ 、およびスケイン関係式
$t^{- 1} V_{L_{+}} (t) - t V_{L_{-}} (t) = (t^{1/2} - t^{- 1/2}) V_{L_{0}} (t)$
で定め、コンウェイ多項式 $\nabla_{L} (z)$ を $\nabla_{O} (z) = 1$ と $\nabla_{L_{+}} (z) - \nabla_{L_{-}} (z) = z \nabla_{L_{0}} (z)$ で定める。
Rolfsen の表の結び目 $K = 7_{2}$ のコンウェイ多項式は
$\nabla_{K} (z) = 1 + 3 z^{2}$
である。結び目 $K$ について成り立つ公式 $V_{K}^{''} (1) = - 6 a_{2} (K)$ （ $a_{2} (K)$ は $\nabla_{K} (z)$ の $z^{2}$ の係数）を用いて、ジョーンズ多項式の $t = 1$ における 2 階微分係数 $V_{K}^{''} (1)$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

トーラス結び目のジョーンズ多項式の t=1 での展開（大学院数学結び目理論）