結び目理論の問題

1. 連結和への帰着. ジョーンズ多項式は連結和に関して乗法的で、$V_K(t)=V_{T(3,7)}(t)V_{5_2}(t)$ である。結び目 $J$ に対しては $V_J(1)=1$, $V_J^{\prime }(1)=0$ が成り立つ（例: $V_{T(2,3)}=t+t^3-t^4$ で $V(1)=1$, $V^{\prime }(1)=1+3-4=0$）。$f=V_{T(3,7)}$, $g=V_{5_2}$ とおくと
$$(fg{)}^{\prime \prime }(1)=f^{\prime \prime }(1)g(1)+2f^{\prime }(1)g^{\prime }(1)+f(1)g^{\prime \prime }(1)=f^{\prime \prime }(1)+g^{\prime \prime }(1)$$
なので、それぞれの 2 階微分係数を足せばよい。

2. $T(3,7)$. 正のトーラス結び目 $T(p,q)$ のジョーンズ多項式は（Jones の公式）
$$V_{T(p,q)}(t)=t^{(p-1)(q-1)/2}\frac{1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^2}$$
である（$p=2,q=3$ で $t\cdot \frac{1-t^3-t^4+t^5}{1-t^2}=t(1+t^2-t^3)=t+t^3-t^4$ となり、問題文の規約と一致する）。$p=3,q=7$ では $(p-1)(q-1)/2=6$ で
$$1-t^4-t^8+t^{10}=(1-t^2)(1+t^2)-t^8(1-t^2)=(1-t^2)(1+t^2-t^8)$$
より
$$V_{T(3,7)}(t)=t^6(1+t^2-t^8)=t^6+t^8-t^{14}.$$
$(t^n{)}^{\prime \prime }=n(n-1)t^{n-2}$ を使うと
$$f^{\prime \prime }(1)=6\cdot 5+8\cdot 7-14\cdot 13=30+56-182=-96.$$

3. $5_2$. スケイン関係式から計算すると（あるいは表から）、一方のキラリティーについて
$$V_{5_2}(t)=-t^{-6}+t^{-5}-t^{-4}+2t^{-3}-t^{-2}+t^{-1}$$
である（$V(1)=-1+1-1+2-1+1=1$）。$n<0$ でも $(t^n{)}^{\prime \prime }=n(n-1)t^{n-2}$ で、$n=-6,-5,-4,-3,-2,-1$ に対し $n(n-1)=42,30,20,12,6,2$ だから
$$g^{\prime \prime }(1)=-42+30-20+2\cdot 12-6+2=-12.$$
鏡像 $\overline{5_2}$ では $V_{\overline{5_2}}(t)=V_{5_2}(t^{-1})$ であり、$h(t)=g(t^{-1})$ とおくと $h^{\prime \prime }(t)=g^{\prime \prime }(t^{-1})t^{-4}+2g^{\prime }(t^{-1})t^{-3}$ より $h^{\prime \prime }(1)=g^{\prime \prime }(1)+2g^{\prime }(1)=g^{\prime \prime }(1)$ なので、値はキラリティーによらない。

4. 検算（コンウェイ多項式との関係）. 結び目 $J$ のコンウェイ多項式を ${\nabla }_J(z)=1+a_2(J)z^2+\cdots$ とすると、スケイン関係式を $t=1$ で 2 回微分することで $V_J^{\prime \prime }(1)=-6a_2(J)$ が示せる（$V_L(1)=-2$, $V_L^{\prime }(1)=-3\mathrm{lk}(L)$ が 2 成分絡み目で成り立つことを使い、交差交換での変化がともに $-6\mathrm{lk}(L_0)$ と $\mathrm{lk}(L_0)$ になることを確かめる）。$a_2(T(p,q))=\frac{(p^2-1)(q^2-1)}{24}$ より $a_2(T(3,7))=\frac{8\cdot 48}{24}=16$、${\Delta }_{5_2}(t)=2t-3+2t^{-1}=1+2(t-2+t^{-1})$ より $a_2(5_2)=2$。よって $-6\cdot 16=-96$, $-6\cdot 2=-12$ となり、上の計算と一致する。

5. 結論.
$$V_K^{\prime \prime }(1)=-96+(-12)=-108.$$

ジョーンズ多項式の $t=1$ での性質. 与えられたスケイン関係式で $t=1$ とすると $V_{L_{+}}(1)-V_{L_{-}}(1)=0$ なので、結び目では $V_K(1)=V_O(1)=1$。さらにスケイン関係式を $t$ で 1 階、2 階微分して $t=1$ を代入し、コンウェイ多項式のスケイン関係式 ${\nabla }_{L_{+}}-{\nabla }_{L_{-}}=z{\nabla }_{L_0}$ と比較することで、結び目 $K$ について
$$V_K^{\prime }(1)=0,V_K^{\prime \prime }(1)=-6a_2(K)$$
が成り立つ(ここで ${\nabla }_K(z)=1+a_2(K)z^2+\cdots$)。検算: 正の三葉結び目 $V=t+t^3-t^4$ では $V^{\prime \prime }=6t-12t^2$ より $V^{\prime \prime }(1)=-6$、$a_2(3_1)=1$ で一致。

連結和. $V_{K_1\#K_2}=V_{K_1}{V}_{K_2}$ より
$$(V_1{V}_2{)}^{\prime \prime }(1)=V_1^{\prime \prime }(1)+2V_1^{\prime }(1)V_2^{\prime }(1)+V_2^{\prime \prime }(1)=V_1^{\prime \prime }(1)+V_2^{\prime \prime }(1)$$
(各 $V^{\prime }(1)=0$, $V(1)=1$)。したがって $V_K^{\prime \prime }(1)=-6(a_2(T(3,7))+a_2(5_2))$。

$a_2(T(3,7))$. アレクサンダー多項式は $\Delta (t)=\frac{(t^{21}-1)(t-1)}{(t^3-1)(t^7-1)}$。トーラス結び目 $T(p,q)$ の $a_2=\frac{(p^2-1)(q^2-1)}{24}$ を用いると、$a_2(T(3,7))=\frac{8\cdot 48}{24}=16$。(三葉結び目 $T(2,3)$ では $\frac{3\cdot 8}{24}=1$ で整合。)

$a_2(5_2)$. ${\Delta }_{5_2}(t)=2t-3+2t^{-1}=2(t-2+t^{-1})+1=1+2(t^{1/2}-t^{-1/2}{)}^2$ より ${\nabla }_{5_2}(z)=1+2z^2$、$a_2=2$(行列式 $|\Delta (-1)|=7$ とも整合)。

合計. $a_2(K)=16+2=18$、よって
$$V_K^{\prime \prime }(1)=-6\cdot 18=-108.$$

なお、鏡像を取ると $V(t)\to V(t^{-1})$ となり、$V^{\prime }(1)=0$ のとき $V^{\prime \prime }(1)$ は不変なので、鏡像の選び方によらない。