トーラス結び目のジョーンズ多項式の t=1 での展開

正の $T (p, q)$ のジョーンズ多項式 $V (t) = t^{(p - 1) (q - 1) /2} \frac{1 - t ^{p + 1} - t ^{q + 1} + t ^{p + q}}{1 - t ^{2}}$ を $t = 1 + h$ とおいて $h$ について展開できる。分子・分母の打ち消し（ $0/0$ の除去）を処理して $V^{''} (1)$ などの値を $p, q$ の式で求め、 $V^{''} (1) = - 6 a_{2}$ と照合できる

前提

ジョーンズ多項式の特殊値と微分（大学院数学結び目理論）
トーラス絡み目とそのブレイド表示（大学院数学結び目理論）
漸近展開と極限（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
ジョーンズ多項式の特殊値と微分（大学院数学結び目理論）
トーラス絡み目とそのブレイド表示（大学院数学結び目理論）
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関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
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平均値の定理（数学III 微分法）
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円の周の長さと面積（算数平面図形）
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弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
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自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
漸近展開と極限（大学数学微分積分）

説明

正のトーラス結び目 $T (p, q)$ （ $p, q \geq 2$ は互いに素）のジョーンズ多項式は閉じた式 $V (t) = t^{(p - 1) (q - 1) /2} \frac{1 - t ^{p + 1} - t ^{q + 1} + t ^{p + q}}{1 - t ^{2}}$ で与えられますが、 $t = 1$ では分子も分母も $0$ になるので、そのまま代入しても値は出ません。この技能では $t = 1 + h$ とおいて $h$ について 2 次まで展開し、 $0/0$ を打ち消しながら $V (1)$ , $V^{'} (1)$ , $V^{''} (1)$ を $p, q$ の式で求めます。結果は $V^{''} (1) = - \frac{( p ^{2} - 1 ) ( q ^{2} - 1 )}{4}$ です。 $V^{''} (1) = - 6 a_{2}$ と照合すれば、コンウェイ多項式の $z^{2}$ の係数 $a_{2} = \frac{( p ^{2} - 1 ) ( q ^{2} - 1 )}{24}$ も得られます。

なぜそうしてよいのか

$V$ は $t = 1$ の近くでなめらかなので $V (1 + h) = V (1) + V^{'} (1) h + \frac{V ^{''} ( 1 )}{2} h^{2} + o (h^{2})$ と書けます。したがって $h^{2}$ の係数を 2 倍すれば $V^{''} (1)$ が得られます。困るのは $\frac{N ( t )}{1 - t ^{2}}$ （ $N = 1 - t^{p + 1} - t^{q + 1} + t^{p + q}$ ）の部分で、分子・分母がともに $h$ の 1 次から始まるため、商を $h^{2}$ まで正しく出すには分子を $h^{3}$ まで展開する必要があります。この手間を減らすため、分子を
$N = (1 - t^{p + 1}) (1 - t^{q + 1}) + t^{p + q} (1 - t^{2})$
と書き直します（右辺を展開すると $1 - t^{p + 1} - t^{q + 1} + t^{p + q + 2} + t^{p + q} - t^{p + q + 2}$ となり、 $N$ に一致します）。すると
$F (t) := \frac{N}{1 - t ^{2}} = t^{p + q} + \frac{( 1 - t ^{p + 1} ) ( 1 - t ^{q + 1} )}{1 - t ^{2}}$
となり、第 2 項は分子が $h^{2}$ 、分母が $h$ から始まるので、 $h$ を 1 つ約分できる形になります。

展開には $1 - (1 + h)^{m} = - mh (1 + \frac{m - 1}{2} h + O (h^{2}))$ と $1 - (1 + h)^{2} = - 2 h (1 + \frac{h}{2})$ を使います。第 2 項は
$\frac{( p + 1 ) ( q + 1 ) h ^{2} ( 1 + \frac{p}{2} h ) ( 1 + \frac{q}{2} h )}{- 2 h ( 1 + \frac{h}{2} )} + O (h^{3}) = - \frac{( p + 1 ) ( q + 1 )}{2} h (1 + \frac{p + q - 1}{2} h) + O (h^{3})$
です。 $g = \frac{( p - 1 ) ( q - 1 )}{2}$ とおいて $t^{p + q} = 1 + (p + q) h + (2 p + q) h^{2} + O (h^{3})$ と合わせると
$F = 1 - g h - \frac{( p + q - 1 ) g}{2} h^{2} + O (h^{3})$
となります（ $h$ の係数は $(p + q) - \frac{( p + 1 ) ( q + 1 )}{2} = - \frac{( p - 1 ) ( q - 1 )}{2} = - g$ ）。最後に $t^{g} = 1 + g h + \frac{g ( g - 1 )}{2} h^{2} + O (h^{3})$ を掛けます。定数項は $1$ で $V (1) = 1$ 、 $h$ の係数は $g - g = 0$ で $V^{'} (1) = 0$ となり、前提の技能の性質と合っています。 $h^{2}$ の係数は
$\frac{g ( g - 1 )}{2} - g^{2} - \frac{( p + q - 1 ) g}{2} = - \frac{g ( g + p + q )}{2} = - \frac{( p - 1 ) ( q - 1 )}{2} \cdot \frac{( p + 1 ) ( q + 1 )}{4} = - \frac{( p ^{2} - 1 ) ( q ^{2} - 1 )}{8}$
です（ $g + p + q = \frac{( p + 1 ) ( q + 1 )}{2}$ を使いました）。よって $V^{''} (1) = - \frac{( p ^{2} - 1 ) ( q ^{2} - 1 )}{4}$ となり、 $- 6 a_{2}$ と比べて $a_{2} = \frac{( p ^{2} - 1 ) ( q ^{2} - 1 )}{24}$ を得ます。 $T (2, 3)$ では $a_{2} = \frac{3 \cdot 8}{24} = 1$ となり、三葉結び目の $\nabla = 1 + z^{2}$ と一致します。

手順

$t = 1 + h$ とおき、 $g = \frac{( p - 1 ) ( q - 1 )}{2}$ を計算する。 $V = t^{g} F (t)$ , $F = \frac{1 - t ^{p + 1} - t ^{q + 1} + t ^{p + q}}{1 - t ^{2}}$ と分ける。
$0/0$ を除くため、 $F = t^{p + q} + \frac{( 1 - t ^{p + 1} ) ( 1 - t ^{q + 1} )}{1 - t ^{2}}$ と書き直す。
$1 - (1 + h)^{m} = - mh (1 + \frac{m - 1}{2} h + O (h^{2}))$ と $1 - (1 + h)^{2} = - 2 h (1 + \frac{h}{2})$ を使い、 $h$ を約分して $F$ を $h^{2}$ まで展開する。
$t^{g} = 1 + g h + \frac{g ( g - 1 )}{2} h^{2} + O (h^{3})$ を掛けて $V (1 + h)$ を $h^{2}$ まで求め、定数項 $= 1$ ・ $h$ の係数 $= 0$ で検算する。
$V^{''} (1) = 2 \times (h^{2} の係数)$ とする。一般には $V^{''} (1) = - \frac{( p ^{2} - 1 ) ( q ^{2} - 1 )}{4}$ 。必要なら $a_{2} = - \frac{V ^{''} ( 1 )}{6}$ と照合する。

例題

正のトーラス結び目 $T (3, 4)$ のジョーンズ多項式を $V (t) = t^{3} \frac{1 - t ^{4} - t ^{5} + t ^{7}}{1 - t ^{2}}$ とする。 $V^{''} (1)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: $t = 1 + h$ とおく。 $g = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3$ で、 $V = t^{3} F$ , $F = \frac{1 - t ^{4} - t ^{5} + t ^{7}}{1 - t ^{2}}$ 。

手順 2: $F = t^{7} + \frac{( 1 - t ^{4} ) ( 1 - t ^{5} )}{1 - t ^{2}}$ と書き直す。

手順 3: $1 - t^{4} = - 4 h (1 + \frac{3}{2} h + O (h^{2}))$ 、 $1 - t^{5} = - 5 h (1 + 2 h + O (h^{2}))$ 、 $1 - t^{2} = - 2 h (1 + \frac{1}{2} h)$ だから
$\frac{( 1 - t ^{4} ) ( 1 - t ^{5} )}{1 - t ^{2}} = \frac{20 h ^{2} ( 1 + \frac{7}{2} h )}{- 2 h ( 1 + \frac{1}{2} h )} + O (h^{3}) = - 10 h (1 + 3 h) + O (h^{3}) = - 10 h - 30 h^{2} + O (h^{3}) .$
また $t^{7} = 1 + 7 h + 21 h^{2} + O (h^{3})$ なので $F = 1 - 3 h - 9 h^{2} + O (h^{3})$ 。

手順 4: $t^{3} = 1 + 3 h + 3 h^{2} + O (h^{3})$ を掛けると
$V (1 + h) = 1 + (3 - 3) h + (3 - 9 - 9) h^{2} + O (h^{3}) = 1 - 15 h^{2} + O (h^{3}) .$
定数項 $1$ 、 $h$ の係数 $0$ で、 $V (1) = 1$ , $V^{'} (1) = 0$ と合っている。

手順 5: $V^{''} (1) = 2 \times (- 15) = - 30$ 。一般式 $- \frac{( 9 - 1 ) ( 16 - 1 )}{4} = - 30$ とも一致する（このとき $a_{2} = 5$ ）。

答え: $- 30$

よくある誤り

分母 $1 - t^{2}$ を $- 2 h$ だけで近似して $- 2 h (1 + \frac{h}{2})$ の補正を落としてしまう誤り。分母が $h$ の 1 次から始まるので、分子・分母とも 1 つ先の次数まで必要である。 $T (3, 4)$ で補正を落とすと第 2 項が $- 10 h (1 + \frac{7}{2} h) = - 10 h - 35 h^{2}$ となり、正しい $- 10 h - 30 h^{2}$ からずれる。
因子 $t^{g}$ を掛け忘れ、 $F$ だけから $V^{''} (1)$ を出してしまう誤り。 $T (3, 4)$ では $F = 1 - 3 h - 9 h^{2} + \dots$ から $- 18$ としてしまう。正しくは $t^{3}$ を掛けて $V = 1 - 15 h^{2} + \dots$ とし、 $V^{''} (1) = - 30$ 。 $h$ の係数が $0$ にならなければ、どこかで掛け忘れているとわかる。
$h^{2}$ の係数をそのまま $V^{''} (1)$ としてしまう誤り。テイラー展開では $h^{2}$ の係数は $\frac{V ^{''} ( 1 )}{2}$ なので、正しくは 2 倍する。 $T (3, 4)$ では $- 15$ ではなく $- 30$ 。
$V^{''} (1) = - 6 a_{2}$ と照合するときに符号や係数を取り違え、 $a_{2} = 6 V^{''} (1)$ や $a_{2} = \frac{V ^{''} ( 1 )}{6}$ としてしまう誤り。正しくは $a_{2} = - \frac{V ^{''} ( 1 )}{6}$ 。 $T (3, 4)$ では $a_{2} = - \frac{- 30}{6} = 5 = \frac{( 9 - 1 ) ( 16 - 1 )}{24}$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$T (2, 5)$ を正の（右手系の） $(2, 5)$ トーラス結び目とする。互いに素な $2$ 以上の整数 $p, q$ に対し、正のトーラス結び目 $T (p, q)$ のジョーンズ多項式（スケイン関係式 $t^{- 1} V_{L_{+}} - t V_{L_{-}} = (t^{1/2} - t^{- 1/2}) V_{L_{0}}$ と自明な結び目 $O$ に対する $V_{O} (t) = 1$ で定めたもの）は
$V_{T (p, q)} (t) = t^{(p - 1) (q - 1) /2} \frac{1 - t ^{p + 1} - t ^{q + 1} + t ^{p + q}}{1 - t ^{2}}$
で与えられることが知られている。 $t = 1 + h$ とおいて $V_{T (2, 5)} (1 + h)$ を $h$ について展開することにより、 $t = 1$ における $2$ 階微分係数 $V_{T (2, 5)}^{''} (1)$ を求めよ。

トーラス結び目のジョーンズ多項式の t=1 での展開

前提

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