互いに素な整数 で を満たすものに対し、 を トーラス結び目とする。次の 2 つの事実を用いてよい。
- 自明でないトーラス結び目は、鏡像と向きの違いを同一視すると、上の条件を満たす組 によってちょうど 1 通りに と表される。異なる組は異なる結び目を与える。
- (村杉) 交点数について が成り立つ。
鏡像と向きの違いを同一視するとき、交点数 が 以下である自明でないトーラス結び目 の個数を求めよ。
トーラス絡み目とそのブレイド表示
が の閉包であることを使い、次のことができる。成分数 と、各成分が であることを求められる。成分間の絡み数 を求められる。交点数の公式 を使って、条件を満たすトーラス結び目の個数を数えられる
前提
- 絡み数 （大学院数学 結び目理論）
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- 絡み数 （大学院数学 結び目理論）
説明
トーラス絡み目 （ は正の整数、）は、トーラスの上を経線方向に 回・緯線方向に 回まわる曲線で、 本のブレイド の閉包として表せます。この表示を使うと、成分数 、各成分の型 、2 成分の間の絡み数 が、紐の動きを追うだけで求まります。さらに交点数の公式 と組み合わせれば、交点数の条件を満たすトーラス結び目を数え上げられます。
なぜそうしてよいのか
ブロック を左から読むと、位置 1 にいた紐が で位置 2 へ、 で位置 3 へ、…と進み、最後に位置 に着きます。このとき、この紐（このブロックの「先頭の紐」と呼びます）はほかの 本とちょうど 1 回ずつ交差し、ほかの紐は位置が 1 つずつ下がります（位置 ）。したがって の置換は長さ の巡回置換で、 の置換は「位置を だけずらす」ものです。位置を の番号で考えると、 ずつずらして同じ所に戻る番号の集まりは、 で割った余りが等しい番号の集まりになり、長さ の巡回置換が 個できます。よって成分数は で、各成分は 本の紐からなります。
番目のブロックの先頭の紐は、上端で位置 （ を法として）にあった紐です。 なので、 個のブロックのうち、各成分の紐が先頭になるのはちょうど 回ずつです。成分 の紐が先頭のブロックでは、 の紐は成分 の 本の紐と 1 回ずつ交差し、逆も同様です。交点はすべて なので符号は 。よって – 間の交点の符号の和は で、 です。同じ考えで の自己交差は 個あり、 だけを取り出すと の閉包、つまり になります。
はトーラスの経線と緯線の役割を入れ替えると と同じ結び目になり、 または なら自明な結び目です。交点数の公式 は なら で、これは 本のブレイド表示の交点数 に一致します（本数の少ない方の表示が最小の図式を与える）。
手順
を求める。これが の成分数
各成分は 本の紐からなり、型は （ または なら自明な結び目）
異なる 2 成分の間の絡み数は （ブレイドの交点はすべて正なので正の値）。全成分対の和は
トーラス結び目（）を数えるときは、 を同一視して 、 に限り、交点数 で条件を判定する
例題
トーラス絡み目 を の閉包として向き付ける（紐はすべて同じ向き、 を正の交点とする）。成分数と、異なる 2 成分の間の絡み数を、この順に求めよ。
例題の解答
手順 1: なので成分数は 3。
手順 2: 各成分は 本の紐からなり、型は （三葉結び目）。ブレイドの位置で言えば、上端の位置 がそれぞれ 1 つの成分。
手順 3: 。
（確認: 9 個のブロックのうち各成分の紐が先頭になるのは 回。そのたびに先頭の紐はほかの成分の 2 本と交差するので、2 成分 の間の交点は 個、すべて正で 。全交点数 は、自己交差 個と成分間 個の和になっている。）
答え:
よくある誤り
成分間の絡み数を や全交点数から としてしまう誤り。 で や とするなど。正しくは自己交差を除き、1 対あたり
各成分を や と、片方だけを で割ってしまう誤り。 の成分を や とするなど。正しくは両方を割って
トーラス結び目を数えるとき と を別々に数える、または の自明な結び目を含める誤り。たとえば交点数 では と （ なので除外）を調べて 3 個。 を別に数えて 4 個以上としない
交点数の公式で の大きい方をとる誤り。 で としてしまう。正しくは （ なら ）
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
トーラス絡み目 を考える。 は 6 本の紐のブレイド群 の元
の閉包として得られる。ここで は 番目と 番目の紐の交差であり、閉包の各成分にはブレイドの進む向きに沿った向きを入れる。この向きのもとで、 に対応する交点はすべて正の交点（符号 ）であるとする。の成分の個数を とし、成分を とするとき、すべての成分の対についての絡み数の和
を求めよ。互いに素な整数 で を満たすものに対し、 を トーラス結び目とする（ と定めたので、各トーラス結び目はちょうど 1 つの組 で表される）。結び目 の交点数 を、 のすべての図式における交点の個数の最小値とする。
を満たす組 の個数を求めよ。
向き付けられた絡み目 のコンウェイ多項式 を、次の 2 つの条件で定める。
- 自明な結び目 に対して
- スケイン関係式
ここで は、1 つの交点の近くだけが異なる 3 つの向き付けられた絡み目である。その交点が では正の交点、 では負の交点であり、 はその交点を向きに沿って解消したものとする。
2 本の紐のブレイド群 の生成元を とする。 は、閉包の 2 本の紐に同じ向きを入れたときに正の交点となる交差とする。正の整数 に対して、ブレイド の閉包を と書く。 が奇数なら は結び目、 が偶数なら 2 成分の絡み目である。
結び目 のコンウェイ多項式 を求めよ。
を でない整数とし、 本のひもからなるブレイド の閉包として得られる絡み目をトーラス絡み目 とする（ のときは と解釈する）。
向きの付いた 成分絡み目 の図式 において、 と が交わる交点（混合交点）の全体を とし、各交点 には通常の右手系の規則で符号 を定める。絡み数を
で定める。この値が向き付き絡み目 の図式 の取り方によらない（向きを保ったライデマイスター移動で不変である）ことは用いてよい。また、絡み目 の図式 の交点の個数を とし、 の交点数 を、 のすべての図式 にわたる の最小値と定める（交点数は向きによらない）。このとき、 の交点数が であることを証明せよ。
の単位球面 を考える。 には、 の向き から定まる単位球体の境界としての向きを入れる。
を互いに素な 以上の整数とし、円周 の への作用を
で定める。- と はそれぞれ 1 つの軌道であり、 は が増える向き、 は が増える向きに向き付ける。この向きの約束のもとで である。
- を満たす点の軌道を一般軌道とよぶ。一般軌道は で を から まで動かすと単純閉曲線を 1 周する。一般軌道は が増える向きに向き付ける。
を正の整数とし、相異なる 個の一般軌道 をとる。 内の 成分の向き付けられた絡み目
について、相異なる 2 成分のすべての組（ 組）にわたる絡み数の総和
を の式で求めよ。を と互いに素な 以上の整数とし、 を正の（右手系の） トーラス結び目、すなわち 3 本の紐のブレイド の閉包とする。
結び目 の種数 を、 内で を境界とする向き付け可能な連結曲面の種数の最小値とする。また のザイフェルト行列を とするとき、対称行列 の符号数（正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）を の符号数 とする。
を満たす をすべて求めよ。
この技能の次に学べること
- トーラス結び目のアレクサンダー多項式と種数 （大学院数学 結び目理論）
- トーラス結び目の符号数（格子点の数え上げ） （大学院数学 結び目理論）
- トーラス結び目のジョーンズ多項式の t=1 での展開 （大学院数学 結び目理論）