結び目理論の問題

向き付けられた絡み目 $L$ のコンウェイ多項式 ${\nabla }_L(z)\in \mathbb{Z}[z]$ は、自明な結び目 $O$ に対して ${\nabla }_O(z)=1$ であり、ある交点だけが異なる 3 つの向き付けられた絡み目 $L_{+},L_{-},L_0$（その交点が正の交点、負の交点、向きに沿って交点をなくしたもの）に対してスケイン関係式
$${\nabla }_{L_{+}}(z)-{\nabla }_{L_{-}}(z)=z{\nabla }_{L_0}(z)$$
を満たす不変量である。分離した 2 成分の自明な絡み目の $\nabla$ は $0$ であることを用いてよい。

2 本の紐のブレイド群 $B_2$ の生成元を ${\sigma }_1$（正の交差）とし、自然数 $n\ge 0$ に対して、ブレイド ${\sigma }_1^n$ の閉包（紐はすべて同じ向きに向き付ける）を $L_n$ とする。ただし $L_0$ は分離した 2 成分の自明な絡み目とする。$L_4$ のコンウェイ多項式 ${\nabla }_{L_4}(z)$ を求めよ。

向き付けられた絡み目 $L$ のジョーンズ多項式 $V_L(t)$ を、次の 2 つの条件で定める。

• 自明な結び目 $O$ に対して $V_O(t)=1$
• スケイン関係式 $$t^{-1}{V}_{L_{+}}(t)-t{V}_{L_{-}}(t)=\left(t^{1/2}-t^{-1/2}\right)V_{L_0}(t)$$

ここで $L_{+},L_{-},L_0$ は、1 つの交点の近くだけが異なる通常のスケイン三つ組とする。$L_{+}$ は正の交点、$L_{-}$ は負の交点をもち、$L_0$ はその交点を向きに沿って解消したものである。

この規約では、正の（右手系の）三葉結び目 $T(2,3)$ について $V_{T(2,3)}(t)=t+t^3-t^4$ となる。

結び目 $K$ を、正の（右手系の）トーラス結び目 $T(2,5)$、正のトーラス結び目 $T(3,4)$、8 の字結び目 $4_1$ の連結和
$$K=T(2,5)\#T(3,4)\#4_1$$
とする。ここに現れる結び目はどれも可逆なので、連結和は向きの選び方によらず定まる。

ジョーンズ多項式 $V_K(t)$ の $t=1$ における 2 階微分係数 $V_K^{\prime \prime }(1)$ を求めよ。

向き付けられた絡み目 $L$ のジョーンズ多項式 $V_L(t)$ は、整数係数のローラン多項式環 $\mathbb{Z}[t^{1/2},t^{-1/2}]$ の元であり、絡み目の同位類（向きを含む）だけで決まって、次の 2 つの条件を満たす。

- 自明な結び目 $O$ に対して $V_O(t)=1$
- 1 つの交点の近くだけが異なり、その交点がそれぞれ正の交点・負の交点・向きに沿った平滑化になっている 3 つの向き付けられた絡み目 $L_{+},L_{-},L_0$ に対して
$$t^{-1}{V}_{L_{+}}(t)-t{V}_{L_{-}}(t)=\left(t^{1/2}-t^{-1/2}\right)V_{L_0}(t)$$

2 本のひもからなるブレイド群の生成元を ${\sigma }_1$ とし、各ひもにブレイドの向き（上から下へ）を入れて閉包をとったとき、${\sigma }_1$ の交点が正の交点になるように ${\sigma }_1$ を定める。整数 $k$ に対し、ブレイドの語 ${\sigma }_1^k$ の閉包（向きはブレイドの向きから定まるもの）を $L_k$ と書く。

$L_2$（ホップ絡み目）と $L_3$（三葉結び目 $3_1$ の一方の鏡像）のジョーンズ多項式が
$$V_{L_2}(t)=-t^{1/2}-t^{5/2},V_{L_3}(t)=t+t^3-t^4$$
であることを用いて、トーラス絡み目 $T(2,4)$ にあたる $L_4$ のジョーンズ多項式 $V_{L_4}(t)$ を求めよ。

5 本の紐のブレイド群 $B_5$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4$ とする。${\sigma }_i$ は $i$ 番目の紐と $i+1$ 番目の紐の正の交差 1 つ、${\sigma }_i^{-1}$ は負の交差 1 つを表し、閉包の各紐にはブレイドの進む向き（語を左から右へ読む向き）に沿って向きを入れる。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_2^{-2}{\sigma }_3{\sigma }_4^2{\sigma }_3{\sigma }_2^2$$
の閉包として得られる向き付けられた絡み目を $L=\hat{\beta }$ とする。$L$ の相異なる 2 つの成分 $K_i,K_j$ の絡み数 $\mathrm{lk}(K_i,K_j)$ は、$K_i$ と $K_j$ の間の交差の符号の和の $\frac{1}{2}$ で定める。

$L$ のすべての成分の対 $\{K_i,K_j\}$（$i\ne j$）についての絡み数の和 $\sum _{i<j}\mathrm{lk}(K_i,K_j)$ を求めよ。

向き付けられた絡み目 $L\subset S^3$ のジョーンズ多項式 $V_L(t)\in \mathbb{Z}[t^{1/2},t^{-1/2}]$ を、次の $2$ つの性質で特徴づけられる向き付き絡み目の不変量とする。ここで「不変量」とは、$V_L(t)$ が向き付き絡み目 $L$ の（向きを保つ）イソトピー類だけで決まることをいい、したがって図式に対する値は、その図式が表す向き付き絡み目の値として定まり、ライデマイスター移動で変わらない。
- 自明な結び目 $O$ に対して $V_O(t)=1$。
- $1$ つの交点の近くだけが異なり、その交点がそれぞれ正の交点・負の交点・平滑化（向きに沿って交点を解消したもの）になっている向き付き絡み目の図式 $L_{+},L_{-},L_0$ に対して
$$t^{-1}{V}_{L_{+}}(t)-t{V}_{L_{-}}(t)=(t^{1/2}-t^{-1/2})V_{L_0}(t).$$

また、次の事実は用いてよい: 任意の向き付き絡み目の図式は、いくつかの交点の上下を入れ替えることで、成分の個数が同じ自明な絡み目（互いに分離した自明な結び目の和）の図式にできる。

$V_L(1)$ を、$V_L(t)$ に $t^{1/2}=1$ を代入した整数と定める。$c$ を正の整数とするとき、$c$ 成分の任意の向き付き絡み目 $L$ に対して
$$V_L(1)=(-2{)}^{c-1}$$
が成り立つことを証明せよ。