結び目理論の問題

向き付けられた絡み目 $L$ のコンウェイ多項式 ${\nabla }_L(z)\in \mathbb{Z}[z]$ を、次の 2 つの条件で定める。

• 自明な結び目 $O$ に対して ${\nabla }_O(z)=1$
• スケイン関係式 $${\nabla }_{L_{+}}(z)-{\nabla }_{L_{-}}(z)=z{\nabla }_{L_0}(z)$$

ここで $L_{+},L_{-},L_0$ は、1 つの交点の近くだけが異なる 3 つの向き付けられた絡み目である。その交点が $L_{+}$ では正の交点、$L_{-}$ では負の交点であり、$L_0$ はその交点を向きに沿って解消したものとする。

2 本の紐のブレイド群 $B_2$ の生成元を ${\sigma }_1$ とする。${\sigma }_1$ は、閉包の 2 本の紐に同じ向きを入れたときに正の交点となる交差とする。正の整数 $n$ に対して、ブレイド ${\sigma }_1^n$ の閉包を $T(2,n)$ と書く。$n$ が奇数なら $T(2,n)$ は結び目、$n$ が偶数なら 2 成分の絡み目である。

結び目 $T(2,9)$ のコンウェイ多項式 ${\nabla }_{T(2,9)}(z)$ を求めよ。

向き付けられた絡み目 $L$ のジョーンズ多項式 $V_L(t)$ は、整数係数のローラン多項式環 $\mathbb{Z}[t^{1/2},t^{-1/2}]$ の元であり、絡み目の同位類（向きを含む）だけで決まって、次の 2 つの条件を満たす。

- 自明な結び目 $O$ に対して $V_O(t)=1$
- 1 つの交点の近くだけが異なり、その交点がそれぞれ正の交点・負の交点・向きに沿った平滑化になっている 3 つの向き付けられた絡み目 $L_{+},L_{-},L_0$ に対して
$$t^{-1}{V}_{L_{+}}(t)-t{V}_{L_{-}}(t)=\left(t^{1/2}-t^{-1/2}\right)V_{L_0}(t)$$

2 本のひもからなるブレイド群の生成元を ${\sigma }_1$ とし、各ひもにブレイドの向き（上から下へ）を入れて閉包をとったとき、${\sigma }_1$ の交点が正の交点になるように ${\sigma }_1$ を定める。整数 $k$ に対し、ブレイドの語 ${\sigma }_1^k$ の閉包（向きはブレイドの向きから定まるもの）を $L_k$ と書く。

$L_2$（ホップ絡み目）と $L_3$（三葉結び目 $3_1$ の一方の鏡像）のジョーンズ多項式が
$$V_{L_2}(t)=-t^{1/2}-t^{5/2},V_{L_3}(t)=t+t^3-t^4$$
であることを用いて、トーラス絡み目 $T(2,4)$ にあたる $L_4$ のジョーンズ多項式 $V_{L_4}(t)$ を求めよ。

向き付けられた絡み目 $L$ のジョーンズ多項式 $V_L(t)$ を、自明な結び目 $O$ に対して $V_O(t)=1$、およびスケイン関係式
$$t^{-1}{V}_{L_{+}}(t)-t{V}_{L_{-}}(t)=\left(t^{1/2}-t^{-1/2}\right)V_{L_0}(t)$$
で定め、コンウェイ多項式 ${\nabla }_L(z)$ を ${\nabla }_O(z)=1$ と ${\nabla }_{L_{+}}(z)-{\nabla }_{L_{-}}(z)=z{\nabla }_{L_0}(z)$ で定める。

Rolfsen の表の結び目 $K=7_2$ のコンウェイ多項式は
$${\nabla }_K(z)=1+3z^2$$
である。結び目 $K$ について成り立つ公式 $V_K^{\prime \prime }(1)=-6a_2(K)$（$a_2(K)$ は ${\nabla }_K(z)$ の $z^2$ の係数）を用いて、ジョーンズ多項式の $t=1$ における 2 階微分係数 $V_K^{\prime \prime }(1)$ を求めよ。

3 本の紐のブレイド群 $B_3$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ とする（${\sigma }_i$ は $i$ 番目の紐と $i+1$ 番目の紐の正の交差 1 つを表し、閉包の各紐にはブレイドの進む向きに沿って向きを入れる）。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^5{\sigma }_2^3\in B_3$$
の閉包 $K=\hat{\beta }$ は結び目（1 成分）である。結び目の種数 $g(K)$ を、$S^3$ 内で $K$ を境界とする連結で向き付け可能な曲面の種数の最小値と定める。$g(K)$ を求めよ。ただし、正のブレイドの閉包に対してザイフェルトのアルゴリズムで作った曲面が最小種数を与えるというスターリングスの定理は、引用して用いてよい。

向き付けられた絡み目 $L$ のジョーンズ多項式 $V_L(t)$ を、次の 2 つの条件で定める。

• 自明な結び目 $O$ に対して $V_O(t)=1$
• スケイン関係式 $$t^{-1}{V}_{L_{+}}(t)-t{V}_{L_{-}}(t)=\left(t^{1/2}-t^{-1/2}\right)V_{L_0}(t)$$

ここで $L_{+},L_{-},L_0$ は、1 つの交点の近くだけが異なる通常のスケイン三つ組とする。$L_{+}$ は正の交点、$L_{-}$ は負の交点をもち、$L_0$ はその交点を向きに沿って解消したものである。

この規約では、正の（右手系の）三葉結び目 $T(2,3)$ について $V_{T(2,3)}(t)=t+t^3-t^4$ となる。

結び目 $K$ を、正の（右手系の）トーラス結び目 $T(2,5)$、正のトーラス結び目 $T(3,4)$、8 の字結び目 $4_1$ の連結和
$$K=T(2,5)\#T(3,4)\#4_1$$
とする。ここに現れる結び目はどれも可逆なので、連結和は向きの選び方によらず定まる。

ジョーンズ多項式 $V_K(t)$ の $t=1$ における 2 階微分係数 $V_K^{\prime \prime }(1)$ を求めよ。