コンウェイ多項式とスケイン関係式

$\nabla_{L_{+}} - \nabla_{L_{-}} = z \nabla_{L_{0}}$ と $\nabla_{O} = 1$ をくり返し使い、ねじれ結び目・トーラス結び目などのコンウェイ多項式を求められる。 $Δ_{K} (t) ≐ \nabla_{K} (t^{1/2} - t^{- 1/2})$ でアレクサンダー多項式と行き来でき、2 成分絡み目では $z$ の係数が絡み数になることを使える

前提

ザイフェルト行列とアレクサンダー多項式（大学院数学結び目理論）

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算数中学高校大学大学院

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ザイフェルト行列とアレクサンダー多項式（大学院数学結び目理論）

説明

コンウェイ多項式 $\nabla_{L} (z)$ は向き付き絡み目 $L$ に整数係数の多項式を対応させる不変量で、1 つの交点を「正の交点 $L_{+}$ 」「負の交点 $L_{-}$ 」「向きに沿ってつなぎ替えたもの $L_{0}$ 」に取り替えた 3 つの図式の間の関係式 $\nabla_{L_{+}} - \nabla_{L_{-}} = z \nabla_{L_{0}}$ と、自明な結び目 $O$ での値 $\nabla_{O} = 1$ だけで計算できます。ザイフェルト行列を作らずに、交点を 1 つずつほどいてより簡単な絡み目に帰着させればよいので、ねじれ結び目やトーラス結び目 $T (2, n)$ のような系列に特に強力です。得られた $\nabla_{K} (z)$ に $z = t^{1/2} - t^{- 1/2}$ を代入すればアレクサンダー多項式になり、2 成分絡み目では $z$ の係数から絡み数が読み取れます。

なぜそうしてよいのか

まず $\nabla$ をザイフェルト行列で定義します。向き付き絡み目 $L$ の連結なザイフェルト曲面から得たザイフェルト行列 $V$ （サイズ $n$ 、 $V_{ij} = lk (a_{i}, a_{j}^{+})$ ）を使って
$\nabla_{L} (z) = det (t^{- 1/2} V - t^{1/2} V^{T}), z = t^{1/2} - t^{- 1/2}$
とおきます。 $t^{- 1/2} V - t^{1/2} V^{T} = t^{- 1/2} (V - t V^{T})$ なので $\nabla_{L} = t^{- n /2} det (V - t V^{T})$ で、これはアレクサンダー多項式 $det (V - t V^{T})$ を $t^{- n /2}$ 倍して $\pm t^{k}$ の不定性を消した正規化版です。 $z$ の多項式として書けて、曲面の選び方によらない絡み目の不変量になることはここでは認めます。とくに $Δ_{L} (t) ≐ \nabla_{L} (t^{1/2} - t^{- 1/2})$ （ $≐$ は $\pm t^{k}$ 倍を除いて等しいこと）です。この規約での基準例: 正のホップ絡み目 $H_{+}$ のザイフェルト曲面は全ひねり 1 回の帯（アニュラス）で、芯 $a$ について $V = (lk (a, a^{+})) = (- 1)$ となり、 $\nabla_{H_{+}} = t^{- 1/2} (- 1) - t^{1/2} (- 1) = z$ です。同様に正の交点 3 つの三葉結び目では $V = (- 1 0 1 - 1)$ で、 $det (z - t^{1/2} t^{- 1/2} z) = z^{2} + 1$ です。

スケイン関係式が成り立つ理由（ $L_{0}$ のザイフェルト曲面 $F_{0}$ を連結にとれる場合で説明します）: 問題の交点をつなぎ替えた位置で $F_{0}$ の 2 か所が向かい合うようにとり、そこに半ひねりの帯を 1 本付け加えると $L_{+}$ と $L_{-}$ のザイフェルト曲面 $F_{\pm}$ が得られます（ひねりの向きだけが違う）。 $H_{1} (F_{\pm})$ の基底は $F_{0}$ の基底 $a_{1}, \dots, a_{n}$ に、帯を 1 回だけ通るループ $c$ を加えたものにとれるので、ザイフェルト行列は $V_{\pm} = (V_{0} w^{T} u v_{\pm})$ の形で、 $V_{0}, u, w$ は $L_{+}$ と $L_{-}$ で共通です。違うのは $v_{\pm} = lk (c, c^{+})$ だけで、帯の半ひねりの向きが逆なのでちょうど $1$ ずれ、正の交点（上のホップ絡み目の規約で $- 1$ を与える向き）の側が小さく $v_{+} = v_{-} - 1$ です（ $H_{+}$ の例では $F_{+}$ は全ひねりのアニュラスで $v_{+} = - 1$ 、 $F_{-}$ はひねりのないアニュラスで $v_{-} = 0$ 、境界は分離した $O ⊔ O$ ）。行列 $t^{- 1/2} V_{\pm} - t^{1/2} V_{\pm}^{T}$ の右下成分は $(t^{- 1/2} - t^{1/2}) v_{\pm} = - z v_{\pm}$ で、それ以外の成分は共通です。行列式はこの 1 成分について 1 次式で、その係数は右下を除いた小行列式 $det (t^{- 1/2} V_{0} - t^{1/2} V_{0}^{T}) = \nabla_{L_{0}}$ なので
$\nabla_{L_{+}} - \nabla_{L_{-}} = (- z v_{+} - (- z v_{-})) \nabla_{L_{0}} = - z (v_{+} - v_{-}) \nabla_{L_{0}} = z \nabla_{L_{0}}$
となり、符号は確かに $+$ です（サイズが $n$ と $n + 1$ で違っても、 $t^{- n /2}$ の正規化が定義式に組み込まれているので $\pm t^{k}$ のずれは生じません）。

この関係式からすぐわかる基本の値があります。自明な結び目に正または負のキンク（自己交差 1 個のねじれ）を作ると、 $L_{+}$ と $L_{-}$ はどちらも自明な結び目、 $L_{0}$ は分離した 2 成分の自明な絡み目 $O ⊔ O$ です。よって $1 - 1 = z \nabla_{O ⊔ O}$ から $\nabla_{O ⊔ O} = 0$ （一般に分離した絡み目の $\nabla$ は $0$ ）。次に正のホップ絡み目 $H_{+}$ の交点の 1 つで $L_{+} = H_{+}$ 、 $L_{-} = O ⊔ O$ 、 $L_{0} = O$ なので $\nabla_{H_{+}} = z$ で、上の行列式の計算と一致します。2 成分絡み目では交点の変更 1 回で $lk$ も $z$ の係数も同じだけ変わることから、一般に $\nabla_{L} (z) = lk (L) z + (z^{3} 以上の項)$ となります。結び目では $\nabla_{K} (0) = 1$ で、 $z$ の偶数次の項だけが現れます。

手順

絡み目に向きを付け、ほどく交点を 1 つ選んでその符号（正 $L_{+}$ か負 $L_{-}$ か）を判定する
その交点を逆にした図式と、向きに沿ってつなぎ替えた図式 $L_{0}$ を描き、それぞれが何の絡み目か（自明な結び目、分離した絡み目、すでに計算済みの絡み目など）を見きわめる
スケイン関係式 $\nabla_{L_{+}} = \nabla_{L_{-}} + z \nabla_{L_{0}}$ （または $\nabla_{L_{-}} = \nabla_{L_{+}} - z \nabla_{L_{0}}$ ）を書き、未知の $\nabla$ が残るものには手順 1〜2 をくり返す。系列なら漸化式にまとめる
基本の値 $\nabla_{O} = 1$ 、 $\nabla_{O ⊔ O} = 0$ （分離した絡み目は $0$ ）、 $\nabla_{H_{+}} = z$ を代入して $\nabla_{L} (z)$ を整理する
検算する: 結び目なら定数項 $1$ ・偶数次のみ、2 成分なら $z$ の係数が絡み数。アレクサンダー多項式が必要なら $z = t^{1/2} - t^{- 1/2}$ を代入する

例題

2 本のブレイド $σ_{1}^{5}$ の閉包として得られるトーラス結び目 $T (2, 5)$ （Rolfsen の表の $5_{1}$ ）を、ブレイドの進む向きに両方の糸を向き付けて考える。この向きで $σ_{1}$ の交点は正の交点である。 $T (2, 5)$ のコンウェイ多項式 $\nabla_{T (2, 5)} (z)$ を求めよ。

例題の解答

$σ_{1}^{n}$ の閉包を $L_{n}$ とし、 $\nabla_{n} = \nabla_{L_{n}}$ とおく（ $n$ が奇数なら結び目、偶数なら 2 成分絡み目）。

【手順 1】 $L_{n}$ の $σ_{1}$ の交点の 1 つを選ぶ。これは正の交点なので $L_{+} = L_{n}$ 。

【手順 2】その交点を負にすると $σ_{1} σ_{1}^{- 1}$ が打ち消し合い $L_{-} = L_{n - 2}$ 。向きに沿ってつなぎ替えるとその交点が消えるだけなので $L_{0} = L_{n - 1}$ 。

【手順 3】スケイン関係式より漸化式 $\nabla_{n} = \nabla_{n - 2} + z \nabla_{n - 1}$ （ $n \geq 2$ ）を得る。

【手順 4】 $L_{0}$ は $σ_{1}^{0}$ の閉包で分離した 2 成分の自明な絡み目なので $\nabla_{0} = 0$ 、 $L_{1}$ は自明な結び目なので $\nabla_{1} = 1$ 。順に
$\nabla_{2} = 0 + z \cdot 1 = z$ 、
$\nabla_{3} = 1 + z \cdot z = 1 + z^{2}$ 、
$\nabla_{4} = z + z (1 + z^{2}) = 2 z + z^{3}$ 、
$\nabla_{5} = (1 + z^{2}) + z (2 z + z^{3}) = 1 + 3 z^{2} + z^{4}$ 。

【手順 5】検算: 定数項は $1$ で偶数次のみ。 $L_{2}$ （正のホップ絡み目）は $z$ の係数 $1$ で絡み数 $1$ 、 $L_{4}$ は係数 $2$ で絡み数 $2$ と合う。また $z^{2} = t - 2 + t^{- 1}$ 、 $z^{4} = t^{2} - 4 t + 6 - 4 t^{- 1} + t^{- 2}$ を代入すると $1 + 3 z^{2} + z^{4} = t^{2} - t + 1 - t^{- 1} + t^{- 2}$ となり、 $T (2, 5)$ のアレクサンダー多項式と一致する。

よって $\nabla_{T (2, 5)} (z) = 1 + 3 z^{2} + z^{4}$ 。

答え: $z^{4} + 3 z^{2} + 1$

よくある誤り

分離した 2 成分の自明な絡み目 $O ⊔ O$ の値を $1$ や $1 \cdot 1$ としてしまう誤り。正しくは、キンクの交点にスケイン関係式を使うと $1 - 1 = z \nabla_{O ⊔ O}$ なので $\nabla_{O ⊔ O} = 0$
$L_{0}$ を向きを無視してつなぎ替えてしまう誤り。正しくは、2 本の糸の向きが保たれるように（入ってくる糸を出ていく糸へ）つなぎ替える。向きを無視すると、たとえば $σ_{1}^{n}$ の閉包の $L_{0}$ が $σ_{1}^{n - 1}$ の閉包にならず、成分数も合わなくなる
交点の符号を取り違えて $\nabla_{L_{+}} - \nabla_{L_{-}} = z \nabla_{L_{0}}$ の $L_{+}$ と $L_{-}$ を逆に入れてしまう誤り。2 成分絡み目では結果の符号が変わり、たとえば正のホップ絡み目を $- z$ と計算してしまう。正しくは、向きに沿って上の糸を下の糸に反時計回りに重ねられる交点が正で、 $\nabla_{H_{+}} = z$ （ $lk = + 1$ ）
アレクサンダー多項式への換算で $z = t - t^{- 1}$ を代入してしまう誤り。正しくは $z = t^{1/2} - t^{- 1/2}$ で、 $z^{2} = t - 2 + t^{- 1}$ 。たとえば $\nabla_{3_{1}} = 1 + z^{2}$ から $Δ_{3_{1}} (t) ≐ t - 1 + t^{- 1}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
向き付けられた絡み目 $L$ のコンウェイ多項式 $\nabla_{L} (z) \in Z [z]$ は、自明な結び目 $O$ に対して $\nabla_{O} (z) = 1$ であり、ある交点だけが異なる 3 つの向き付けられた絡み目 $L_{+}, L_{-}, L_{0}$ （その交点が正の交点、負の交点、向きに沿って交点をなくしたもの）に対してスケイン関係式
$\nabla_{L_{+}} (z) - \nabla_{L_{-}} (z) = z \nabla_{L_{0}} (z)$
を満たす不変量である。分離した 2 成分の自明な絡み目の $\nabla$ は $0$ であることを用いてよい。
2 本の紐のブレイド群 $B_{2}$ の生成元を $σ_{1}$ （正の交差）とし、自然数 $n \geq 0$ に対して、ブレイド $σ_{1}^{n}$ の閉包（紐はすべて同じ向きに向き付ける）を $L_{n}$ とする。ただし $L_{0}$ は分離した 2 成分の自明な絡み目とする。 $L_{4}$ のコンウェイ多項式 $\nabla_{L_{4}} (z)$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ジョーンズ多項式の特殊値と微分（大学院数学結び目理論）
プレッツェル結び目の不変量（大学院数学結び目理論）