プレッツェル結び目の不変量

奇数 $p, q, r$ のプレッツェル結び目 $P (p, q, r)$ について、 $2 \times 2$ のザイフェルト行列を書ける。そこから $\nabla (z) = 1 + \frac{pq + q r + r p + 1}{4} z^{2}$ と $det = ∣ pq + q r + r p ∣$ を求め、条件を満たす組 $(p, q, r)$ の個数や、 $P (3, 3, - 3)$ の $n$ 彩色の個数を求められる

前提

コンウェイ多項式とスケイン関係式（大学院数学結び目理論）
結び目の行列式と彩色の個数（大学院数学結び目理論）

この技能までの道筋（47 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（数学A 整数の性質）
因数分解（中学数学数と式）
文字式で表した整数の性質（中学数学数と式）
余りによる整数の分類（数学A 整数の性質）
合同式（数学A 整数の性質）
群の位数と元の位数（大学数学代数学）
置換の巡回置換分解と位数（大学数学代数学）
ブレイドの置換と閉包の成分数（大学院数学結び目理論）
絡み数（大学院数学結び目理論）
ザイフェルト行列とアレクサンダー多項式（大学院数学結び目理論）
コンウェイ多項式とスケイン関係式（大学院数学結び目理論）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
フォックス n 彩色（大学院数学結び目理論）
結び目の行列式と彩色の個数（大学院数学結び目理論）

説明

$p, q, r$ がすべて奇数のとき、プレッツェル結び目 $P (p, q, r)$ には種数 1 の向き付け可能なザイフェルト曲面が目に見える形で張れるので、ザイフェルト行列は $2 \times 2$ の行列になります。この技能では、その行列を $p, q, r$ から直接書き下し、コンウェイ多項式 $\nabla (z) = 1 + \frac{pq + q r + r p + 1}{4} z^{2}$ と行列式 $det = ∣ pq + q r + r p ∣$ を求めます。結果がすべて $σ = pq + q r + r p$ という 1 つの量で決まるので、「 $det$ や $\nabla$ が指定された値になる組 $(p, q, r)$ の個数」を数える問題や、具体的な $P (p, q, r)$ の $n$ 彩色の個数を求める問題に使えます。

なぜそうしてよいのか

$P (p, q, r)$ は、上下に置いた 2 枚の円板を 3 本の縦の帯でつなぎ、帯にそれぞれ $p, q, r$ 回の半ひねりを入れた図形の境界です。 $p, q, r$ がすべて奇数なら、この曲面は向き付け可能で境界は 1 本（結び目）になり、オイラー標数は $2 - 3 = - 1$ なので種数は $1$ です。 $H_{1}$ の基底として、1 本目と 2 本目の帯を通るループ $a_{1}$ 、2 本目と 3 本目の帯を通るループ $a_{2}$ をとります。 $k$ 回半ひねりの帯を 1 回通ると、押し出したループとの絡み数に $k /2$ が加わるので $lk (a_{1}, a_{1}^{+}) = \frac{p + q}{2}$ 、 $lk (a_{2}, a_{2}^{+}) = \frac{q + r}{2}$ です。 $a_{1}, a_{2}$ は共有する帯 $q$ のところで 1 回交わるので、非対角成分は $\frac{q}{2}$ に $\pm \frac{1}{2}$ がつき、
$V = \frac{1}{2} (p + q q - 1 q + 1 q + r)$
となります（ひねりの符号や向きの流儀によって $V$ が転置や全体の符号の分だけ変わりますが、以下の不変量は変わりません）。実際 $V - V^{T} = (0 - 1 10)$ で $det (V - V^{T}) = 1$ となり、ザイフェルト行列に必要な性質を満たしています。

次に $s = t^{1/2}$ 、 $z = s - s^{- 1}$ とおくと、コンウェイの正規化をしたアレクサンダー多項式は $det (s V - s^{- 1} V^{T}) = \nabla (z)$ です。 $V = S + A$ （ $S = \frac{V + V ^{T}}{2}$ は対称、 $A = \frac{V - V ^{T}}{2}$ は交代）と分けると $s V - s^{- 1} V^{T} = z S + (s + s^{- 1}) A$ となります。 $2 \times 2$ 行列では $det (X + Y) = det X + det Y + tr (adj (X) Y)$ であり、対称行列と交代行列の積のトレースは $0$ なので、
$\nabla (z) = z^{2} det S + (s + s^{- 1})^{2} det A = z^{2} \cdot \frac{σ}{4} + (z^{2} + 4) \cdot \frac{1}{4} = 1 + \frac{σ + 1}{4} z^{2}$
が出ます。ここで $det (V + V^{T}) = det (p + q q q q + r) = (p + q) (q + r) - q^{2} = pq + q r + r p = σ$ 、 $det S = σ /4$ 、 $det A = 1/4$ 、 $(s + s^{- 1})^{2} = z^{2} + 4$ を使いました。

行列式は $det (K) = ∣ det (V + V^{T}) ∣ = ∣ σ ∣$ です（ $t = - 1$ のとき $z^{2} = - 4$ なので $\nabla = 1 - (σ + 1) = - σ$ となり、 $∣ Δ_{K} (- 1) ∣$ からも同じ値になります）。奇数は 4 で割った余りが $\pm 1$ なので $σ \equiv 3 (mod 4)$ となり、 $z^{2}$ の係数 $\frac{σ + 1}{4}$ はいつも整数です。

手順

$p, q, r$ がすべて奇数であることを確かめる（このとき $P (p, q, r)$ は結び目で、2 枚の円板と 3 本の帯からなる種数 1 のザイフェルト曲面をもつ）。
ザイフェルト行列を書く: $V = \frac{1}{2} (p + q q - 1 q + 1 q + r)$ 。 $V - V^{T} = (0 - 1 10)$ になることで検算する。
$V + V^{T} = (p + q q q q + r)$ を作り、 $σ = det (V + V^{T}) = pq + q r + r p$ を計算する。
コンウェイ多項式は $\nabla (z) = 1 + \frac{σ + 1}{4} z^{2}$ 。アレクサンダー多項式が必要なら $z^{2} = t - 2 + t^{- 1}$ を代入して $Δ (t) ≐ \frac{σ + 1}{4} (t + t^{- 1}) - \frac{σ - 1}{2}$ とする。
行列式は $det = ∣ σ ∣$ 。 $n$ 彩色の個数が必要なら、 $V + V^{T}$ のスミス標準形の不変因子 $d_{1} ∣ d_{2}$ から $col_{n} = n g cd (d_{1}, n) g cd (d_{2}, n)$ とする（ $d_{1}$ は 4 つの成分 $p + q, q, q, q + r$ の最大公約数、 $d_{2} = ∣ σ ∣/ d_{1}$ ）。

例題

プレッツェル結び目 $P (3, 5, 7)$ のコンウェイ多項式 $\nabla (z)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: $3, 5, 7$ はすべて奇数なので、 $P (3, 5, 7)$ は結び目で、種数 1 のザイフェルト曲面をもつ。

手順 2: $p = 3, q = 5, r = 7$ を代入すると
$V = \frac{1}{2} (3 + 5 5 - 1 5 + 1 5 + 7) = (4236) .$
検算として $V - V^{T} = (0 - 1 10)$ となり、確かに成り立つ。

手順 3: $V + V^{T} = (85512)$ で、 $σ = 8 \cdot 12 - 5^{2} = 71$ 。公式でも $σ = 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + 7 \cdot 3 = 15 + 35 + 21 = 71$ と一致する。

手順 4: $\frac{σ + 1}{4} = \frac{72}{4} = 18$ なので
$\nabla (z) = 1 + 18 z^{2} .$
（参考までに、手順 5 から行列式は $∣ σ ∣ = 71$ である。）

答え: $1 + 18 z^{2}$

よくある誤り

ザイフェルト行列の対角成分を帯のひねりの数そのまま $(p * * r)$ としてしまう誤り。ループ $a_{1}$ は 2 本の帯（ $p$ と $q$ ）を通るので、正しくは対角成分は $\frac{p + q}{2}$ と $\frac{q + r}{2}$ になる。 $P (3, 5, 7)$ なら $4$ と $6$ である。
行列式を $det = pq + q r + r p$ と符号のまま答えてしまう誤り。正しくは絶対値をとって $det = ∣ pq + q r + r p ∣$ 。たとえば $P (3, 3, - 3)$ では $σ = 9 - 9 - 9 = - 9$ なので $det = 9$ である。
彩色の個数を行列式だけから $col_{n} = n g cd (det, n)$ としてしまう誤り。正しくはスミス標準形の不変因子を使う。 $P (3, 3, - 3)$ では $V + V^{T} = (6330)$ で成分の最大公約数が $3$ なので不変因子は $3, 3$ となり、 $col_{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ （誤った式では $3 \cdot 3 = 9$ になってしまう）。
$p, q, r$ の中に偶数があるのに公式を当てはめてしまう誤り。このときは 2 枚の円板と 3 本の帯の曲面が向き付け不可能になるか、 $P (p, q, r)$ が絡み目になるので、上の $V$ は使えない。たとえば $P (2, 1, 1)$ に当てはめると $\frac{σ + 1}{4} = \frac{6}{4}$ と整数にならず、誤りに気づける。公式を使えるのは $p, q, r$ がすべて奇数のときだけである。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
奇数 $p, q, r$ に対するプレッツェル結び目 $P (p, q, r)$ には標準的な種数 $1$ のザイフェルト曲面があり、その $H_{1}$ のある基底に関するザイフェルト行列は
$V = \frac{1}{2} (p + q q - 1 q + 1 q + r)$
で与えられる。結び目 $K$ の行列式を $det (K) = ∣ det (V + V^{T}) ∣$ と定める。
$K = P (3, 5, - 7)$ のとき、 $det (K)$ を求めよ。

プレッツェル結び目の不変量

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題