結び目理論の問題

$p,q,r$ を奇数とし、$P(p,q,r)$ をプレッツェル結び目とする（$p,q,r$ がすべて奇数なので $P(p,q,r)$ は結び目である）。$P(p,q,r)$ には標準的な種数 $1$ のザイフェルト曲面 $F$ があり、$H_1(F;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^2$ のある基底に関するザイフェルト行列は
$$V_{p,q,r}=-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}p+q& q+1\\ q-1& q+r\end{array}\right)$$
で与えられるものとする（この規約では $P(1,1,1)$ は正の三葉結び目で、符号数は $-2$ となる）。結び目 $K$ の符号数 $\sigma (K)$ は、$K$ の任意のザイフェルト行列 $V$ に対する対称行列 $V+V^T$ の符号数（正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）と定める。これはザイフェルト曲面と基底の選び方によらない。

奇数 $r$ に対して $K_r=P(-3,5,r)$ とおく。$-49\le r\le 49$ を満たすすべての奇数 $r$ にわたる和
$$\sum _{\begin{array}{c}-49\le r\le 49\\ r:\text{odd}\end{array}}\sigma (K_r)$$
を求めよ。

$S^3$ 内の向き付けられた結び目 $K$ が、種数 $1$ の連結で向き付け可能なザイフェルト曲面 $F$ の境界になっており、$H_1(F;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^2$ のある基底に関するザイフェルト行列が
$$V=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$$
であるとする。$K$ の符号数 $\sigma (K)$ を、実対称行列 $V+V^T$ の正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いた値（重複度を込めて数える）と定める。$\sigma (K)$ を求めよ。

$S^3$ 内の向き付けられた結び目 $K$ が、種数 $1$ の連結で向き付け可能なザイフェルト曲面 $F$ を境界としてもつとする。$H_1(F;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^2$ の基底 $a_1,a_2$ をとり、$a_j^{+}$ を $a_j$ を $F$ の正の法線方向に少し押し出した曲線とする。絡み数 $V_{ij}=\mathrm{lk}(a_i,a_j^{+})$ を並べたザイフェルト行列が
$$V=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$$
であった。$t$ を変数とする多項式 $\det (V-t{V}^T)$ を求めよ（$V^T$ は $V$ の転置行列）。

8 の字結び目 $K=4_1$ のあるザイフェルト曲面（種数 $1$）について、$H_1$ の基底から読み取ったザイフェルト行列が
$$V=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$$
であるとする。2 以上の整数 $n$ に対し、${\mathrm{col}}_n(K)$ を $K$ の図式のフォックス $n$ 彩色（各弧に $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の元を割り当て、各交点で上を通る弧の元 $a$ と下の 2 本の弧の元 $b,c$ が $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}n)$ を満たすもの）の個数とする。ただし、すべての弧に同じ元を割り当てる自明な彩色も数える。

$V+V^T$ のスミス標準形の不変因子 $d_1,d_2$ を用いた公式 ${\mathrm{col}}_n(K)=n{\prod }_i\gcd (d_i,n)$ を使って、${\mathrm{col}}_{10}(K)$ を求めよ。

$S^3$ 内の向き付けられた結び目 $K$ が、種数 $2$ の連結な向き付け可能曲面（ザイフェルト曲面）$F$ の境界になっており、$H_1(F;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^4$ のある基底に関する $F$ のザイフェルト行列が
$$V=\left(\begin{array}{cccc}-1& 1& 0& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ 0& 0& -1& 1\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$$
であるとする。ここで、結び目の種数 $g(K)$ は $K$ を境界とする $S^3$ 内の連結な向き付け可能曲面の種数の最小値、符号数 $\sigma (K)$ は対称行列 $V+V^T$ の符号数（正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）とする。また、任意のザイフェルト行列について $\sigma (K)$ は同じ値をとり、$|\sigma (K)|\le 2g(K)$ が成り立つことは用いてよい。

$g(K)$ を求めよ。