フォックス n 彩色

8 の字結び目 $4_1$ の交点数 4 の図式 $D$ は 4 本の弧 $x_1,x_2,x_3,x_4$ と 4 つの交点 $c_1,c_2,c_3,c_4$ をもち、各交点で上を通る弧と、その交点で分断される 2 本の下の弧は次のとおりである。

• $c_1$: 上の弧 $x_1$、下の弧 $x_2,x_3$
• $c_2$: 上の弧 $x_2$、下の弧 $x_3,x_4$
• $c_3$: 上の弧 $x_3$、下の弧 $x_4,x_1$
• $c_4$: 上の弧 $x_4$、下の弧 $x_1,x_2$

$D$ のフォックス 5 彩色とは、各弧 $x_i$ に $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ の元（同じ記号 $x_i$ で表す）を割り当てる方法であって、どの交点でも、上の弧の元を $a$、下の 2 本の弧の元を $b,c$ とするとき $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}5)$ が成り立つものをいう。すべての弧に同じ元を割り当てる自明な彩色も数えるとき、$D$ のフォックス 5 彩色の個数 ${\mathrm{col}}_5(4_1)$ を求めよ。

結び目 $K$ を、三葉結び目 $3_1$ 2 つと 8 の字結び目 $4_1$ 1 つの連結和 $K=3_1\#3_1\#4_1$ とする（連結和の結果は向きや選び方によらず、以下の量は $K$ のみで決まる）。

$K$ の行列式を $\det (K)=|{\Delta }_K(-1)|$（${\Delta }_K(t)$ はアレクサンダー多項式）で定める。また、$K$ のある図式の各弧に $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ の元を割り当てる方法で、各交点において上を通る弧の色 $a$ と下を通る 2 本の弧の色 $b,c$ が $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}3)$ を満たすものを $K$ の Fox 3 彩色とよび、その個数を ${\mathrm{col}}_3(K)$ とする（すべての弧が同じ色の 3 個の自明な彩色も数に含める。この個数は図式の選び方によらない）。

組 $(\det (K),{\mathrm{col}}_3(K))$ をこの順に求めよ。

プレッツェル結び目 $P(3,3,3)$（Rolfsen の表の $9_{35}$）を $K$ とする。$K$ の図式のフォックス 3 彩色（各弧に $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ の元を割り当て、各交点で上を通る弧の色を $x$、下を通る 2 本の弧の色を $y,z$ とするとき $2x\equiv y+z(\mathrm{mod}3)$ を満たすもの）の個数を求めよ。ただし、すべての弧に同じ色を割り当てる自明な彩色も 1 個と数える。

Rolfsen の表の結び目 $K=7_4$ を考える。$K$ のアレクサンダー多項式は（${\Delta }_K(t)={\Delta }_K(t^{-1})$ となるように正規化して）
$${\Delta }_K(t)=4t-7+4t^{-1}$$
である。結び目の行列式を $\det (K)=|{\Delta }_K(-1)|$ で定める。

2 以上の整数 $n$ に対し、$K$ の図式のフォックス $n$ 彩色とは、図式の各弧に $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の元を割り当てて、各交点で上を通る弧の色を $a$、下を通る 2 本の弧の色を $b,c$ とするとき $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}n)$ が成り立つようにしたものとする。すべての弧が同じ色である彩色を自明な彩色と呼ぶ。

$2\le n\le 30$ を満たす整数 $n$ のうち、$K$ が自明でないフォックス $n$ 彩色をもつようなものの個数を求めよ。ただし、自明でない $n$ 彩色が存在するかどうかは図式の選び方によらないことを用いてよい。

$p$ を素数とし、$K$ を結び目、$D$ を $K$ の交点を $n$ 個（$n\ge 1$）もつ図式とする。$D$ の弧とは、$D$ を各交点で下を通る部分で切って得られる、図式の連続な部分のことをいう。$n\ge 1$ のとき $D$ の弧はちょうど $n$ 個あることは用いてよい。弧を $a_1,\dots ,a_n$、交点を $c_1,\dots ,c_n$ とする。写像 $x:\{a_1,\dots ,a_n\}\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ が $D$ の $p$ 彩色であるとは、各交点 $c_k$ で、上を通る弧を $a_i$、交点で切れて下を通る $2$ 本の弧を $a_j,a_l$（$j=l$ や $i\in \{j,l\}$ となる場合も含む）とするとき
$$2x(a_i)-x(a_j)-x(a_l)=0(\text{in }\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$$
が成り立つことをいう。$n\times n$ 整数行列 $M$ を、第 $k$ 行が交点 $c_k$ のこの式の係数を並べたもの（第 $m$ 列が弧 $a_m$ の係数で、同じ弧が式に複数回現れるときは係数を足し合わせる）として定め、$D$ の彩色行列とよぶ。

次の事実は用いてよい: $M$ から任意に $1$ つの行と $1$ つの列を除いた $(n-1)\times (n-1)$ 小行列の行列式の絶対値は、行・列の選び方と図式 $D$ の選び方によらず、$K$ の行列式 $\det (K)$ に等しい（$n=1$ のときは $0\times 0$ 行列の行列式を $1$ と約束する）。

$p$ が $\det (K)$ を割り切らないならば、$D$ の $p$ 彩色は、すべての弧に同じ色を塗る $p$ 個の定値彩色に限ること（したがって $p$ 彩色はちょうど $p$ 個であること）を証明せよ。

Rolfsen の表の結び目 $K=7_7$ を考える。$K$ のアレクサンダー多項式は（${\Delta }_K(t)={\Delta }_K(t^{-1})$ となるように正規化して）
$${\Delta }_K(t)=t^2-5t+9-5t^{-1}+t^{-2}$$
であり、$K$ の橋数は $2$ である。

素数 $p$ に対し、$K$ の図式のフォックス $p$ 彩色とは、図式の各弧に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の元を割り当てる方法であって、各交点で上を通る弧の色を $a$、下を通る 2 本の弧の色を $b,c$ とするとき $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}p)$ を満たすものをいう（すべての弧が同じ色の自明な彩色も含める）。その個数は図式の取り方によらない $K$ の不変量であり、これを $c_p(K)$ とおく。

$c_p(K)\ne p$ となる素数 $p$ は有限個しかない。
$$S=\sum _{p:\text{素数}}(c_p(K)-p)$$
の値を求めよ。

結び目 $K$ の図式 $D$ の各弧に $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ の元を 1 つずつ割り当てる。どの交点においても、上を通る弧の元を $a$、その交点で分断される 2 本の下の弧の元を $b,c$ とするとき
$$2a\equiv b+c(\mathrm{mod}9)$$
が成り立つ割り当てを、$D$ の Fox $9$ 彩色とよぶ。すべての弧に同じ元を割り当てる自明な彩色も含めて数える。この個数はライデマイスター移動で変わらないので、結び目の不変量である。これを ${\mathrm{Col}}_9(K)$ と書く。

Rolfsen の表の結び目 $6_1$, $7_7$, $9_1$ はいずれも 2 橋結び目である。そのアレクサンダー多項式は（$\Delta (t)=\Delta (t^{-1})$ となるように正規化して）次のとおりである。
$${\Delta }_{6_1}(t)=-2t+5-2t^{-1},{\Delta }_{7_7}(t)=t^2-5t+9-5t^{-1}+t^{-2},$$
$${\Delta }_{9_1}(t)=t^4-t^3+t^2-t+1-t^{-1}+t^{-2}-t^{-3}+t^{-4}.$$
連結和 $K=6_1\#7_7\#9_1$ に対して、${\mathrm{Col}}_9(K)$ を求めよ。

Rolfsen の表の結び目 $K=9_{46}$ を考える。$K$ はプレッツェル結び目 $P(3,3,-3)$ と同じ結び目である。

2 以上の整数 $n$ に対し、$K$ の図式のフォックス $n$ 彩色とは、図式の各弧に $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の元を割り当てる方法であって、各交点で上を通る弧の色を $a$、下を通る 2 本の弧の色を $b,c$ とするとき
$$2a\equiv b+c(\mathrm{mod}n)$$
が成り立つものをいう（すべての弧が同じ色である自明な彩色も数える）。この個数 $c_n(K)$ は図式の選び方によらない $K$ の不変量である。

$c_3(K),c_9(K),c_{15}(K)$ をこの順に組で求めよ。

3 本の紐のブレイド群 $B_3$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ とし、${\sigma }_i$ は位置 $i$ の紐が位置 $i+1$ の紐の上を通って位置 $i+1$ へ移る交差、${\sigma }_i^{-1}$ は位置 $i+1$ の紐が位置 $i$ の紐の上を通って位置 $i$ へ移る交差とする。ブレイドの語は左から右へ順に読む。結び目 $K$ を
$$\beta =({\sigma }_1{\sigma }_2^{-1}{)}^4\in B_3$$
の閉包 $\hat{\beta }$ とする（$K$ は Rolfsen の表の $8_{18}$ である）。

2 以上の整数 $n$ に対し、$K$ の図式のフォックス $n$ 彩色とは、図式の各弧に $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の元（色）を割り当てる方法であって、各交点で上を通る弧の色を $a$、下を通る 2 本の弧の色を $b,c$ とするとき $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}n)$ を満たすものをいう（すべての弧が同じ色の彩色も含める）。フォックス $n$ 彩色の個数は図式の取り方によらない。

$K$ の閉ブレイド図式 $\hat{\beta }$ のフォックス $15$ 彩色の個数を求めよ。