結び目理論の問題

Rolfsen の表の結び目 $K=7_7$ を考える。$K$ のアレクサンダー多項式は（${\Delta }_K(t)={\Delta }_K(t^{-1})$ となるように正規化して）
$${\Delta }_K(t)=t^2-5t+9-5t^{-1}+t^{-2}$$
であり、$K$ の橋数は $2$ である。

素数 $p$ に対し、$K$ の図式のフォックス $p$ 彩色とは、図式の各弧に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の元を割り当てる方法であって、各交点で上を通る弧の色を $a$、下を通る 2 本の弧の色を $b,c$ とするとき $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}p)$ を満たすものをいう（すべての弧が同じ色の自明な彩色も含める）。その個数は図式の取り方によらない $K$ の不変量であり、これを $c_p(K)$ とおく。

$c_p(K)\ne p$ となる素数 $p$ は有限個しかない。
$$S=\sum _{p:\text{素数}}(c_p(K)-p)$$
の値を求めよ。

プレッツェル結び目 $P(3,3,3)$（Rolfsen の表の $9_{35}$）を $K$ とする。$K$ の図式のフォックス 3 彩色（各弧に $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ の元を割り当て、各交点で上を通る弧の色を $x$、下を通る 2 本の弧の色を $y,z$ とするとき $2x\equiv y+z(\mathrm{mod}3)$ を満たすもの）の個数を求めよ。ただし、すべての弧に同じ色を割り当てる自明な彩色も 1 個と数える。

Rolfsen の表の結び目 $K=9_{46}$ を考える。$K$ はプレッツェル結び目 $P(3,3,-3)$ と同じ結び目である。

2 以上の整数 $n$ に対し、$K$ の図式のフォックス $n$ 彩色とは、図式の各弧に $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の元を割り当てる方法であって、各交点で上を通る弧の色を $a$、下を通る 2 本の弧の色を $b,c$ とするとき
$$2a\equiv b+c(\mathrm{mod}n)$$
が成り立つものをいう（すべての弧が同じ色である自明な彩色も数える）。この個数 $c_n(K)$ は図式の選び方によらない $K$ の不変量である。

$c_3(K),c_9(K),c_{15}(K)$ をこの順に組で求めよ。

結び目 $K$ を、三葉結び目 $3_1$ 2 つと 8 の字結び目 $4_1$ 1 つの連結和 $K=3_1\#3_1\#4_1$ とする（連結和の結果は向きや選び方によらず、以下の量は $K$ のみで決まる）。

$K$ の行列式を $\det (K)=|{\Delta }_K(-1)|$（${\Delta }_K(t)$ はアレクサンダー多項式）で定める。また、$K$ のある図式の各弧に $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ の元を割り当てる方法で、各交点において上を通る弧の色 $a$ と下を通る 2 本の弧の色 $b,c$ が $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}3)$ を満たすものを $K$ の Fox 3 彩色とよび、その個数を ${\mathrm{col}}_3(K)$ とする（すべての弧が同じ色の 3 個の自明な彩色も数に含める。この個数は図式の選び方によらない）。

組 $(\det (K),{\mathrm{col}}_3(K))$ をこの順に求めよ。

結び目 $K$ の図式 $D$ の各弧に $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ の元を 1 つずつ割り当てる。どの交点においても、上を通る弧の元を $a$、その交点で分断される 2 本の下の弧の元を $b,c$ とするとき
$$2a\equiv b+c(\mathrm{mod}9)$$
が成り立つ割り当てを、$D$ の Fox $9$ 彩色とよぶ。すべての弧に同じ元を割り当てる自明な彩色も含めて数える。この個数はライデマイスター移動で変わらないので、結び目の不変量である。これを ${\mathrm{Col}}_9(K)$ と書く。

Rolfsen の表の結び目 $6_1$, $7_7$, $9_1$ はいずれも 2 橋結び目である。そのアレクサンダー多項式は（$\Delta (t)=\Delta (t^{-1})$ となるように正規化して）次のとおりである。
$${\Delta }_{6_1}(t)=-2t+5-2t^{-1},{\Delta }_{7_7}(t)=t^2-5t+9-5t^{-1}+t^{-2},$$
$${\Delta }_{9_1}(t)=t^4-t^3+t^2-t+1-t^{-1}+t^{-2}-t^{-3}+t^{-4}.$$
連結和 $K=6_1\#7_7\#9_1$ に対して、${\mathrm{Col}}_9(K)$ を求めよ。