結び目の行列式と彩色の個数

$det (K) = ∣ Δ_{K} (- 1) ∣ = ∣ det (V + V^{T}) ∣$ を求められる。 $V + V^{T}$ のスミス標準形の不変因子 $d_{i}$ から、 $col_{n} (K) = n \prod_{i} g cd (d_{i}, n)$ として彩色の個数を求められる（素数 $p$ では「 $p ∣ det (K)$ ⇔ 非自明な $p$ 彩色が存在する」）。連結和については、 $det$ が積になることと $col_{n} (K_{1} # K_{2}) = col_{n} (K_{1}) col_{n} (K_{2}) / n$ を使って、 $3_{1} # 3_{1} # 4_{1}$ などの値を求められる

前提

ザイフェルト行列とアレクサンダー多項式（大学院数学結び目理論）
フォックス n 彩色（大学院数学結び目理論）

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算数中学高校大学大学院

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ザイフェルト行列とアレクサンダー多項式（大学院数学結び目理論）
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行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
フォックス n 彩色（大学院数学結び目理論）

説明

結び目の行列式 $det (K)$ は、アレクサンダー多項式に $t = - 1$ を代入した値の絶対値で、ザイフェルト行列 $V$ から $∣ det (V + V^{T}) ∣$ として計算できる整数の不変量です。さらに整数行列 $V + V^{T}$ を整数の行・列基本変形で対角行列に直すと、その対角成分から、どんな $n$ に対してもフォックス $n$ 彩色の個数 $col_{n} (K)$ が公式で求まります。図式から合同式を毎回解き直さずに済むので、 $n$ が合成数の場合や、 $3_{1} # 3_{1}$ のように連結和で行列が大きくなる場合に特に便利です。

なぜそうしてよいのか

まず行列式について。 $Δ_{K} (t) = det (V - t V^{T})$ に $t = - 1$ を代入すると $Δ_{K} (- 1) = det (V + V^{T})$ です。 $Δ_{K}$ は $\pm t^{k}$ 倍の違いしか決まっていませんが、 $t = - 1$ ではその違いは $\pm 1$ 倍にすぎないので、絶対値をとれば $det (K) = ∣ Δ_{K} (- 1) ∣ = ∣ det (V + V^{T}) ∣$ は結び目だけで決まる正の整数になります。

次に彩色の個数。正方形の整数行列 $A$ （ $m$ 次）に対し、 $A x \equiv 0 (mod n)$ をみたす $x \in (Z / n)^{m}$ の個数を $N_{n} (A)$ と書きます。行の入れ替え、ある行の整数倍を別の行に加える、行を $- 1$ 倍する（列も同様）という整数基本変形は、行列式が $\pm 1$ の整数行列を掛けることで、その逆も整数行列なので $mod n$ でも可逆です。したがって $N_{n} (A)$ は基本変形で変わりません。整数行列はこの変形で必ず対角行列 $diag (d_{1}, \dots, d_{m})$ （ $d_{i} \geq 0$ 、 $d_{1} ∣ d_{2} ∣ \dots$ ）に直せ、これをスミス標準形、 $d_{i}$ を不変因子と呼びます（ユークリッドの互除法を行と列に交互に施すことで作れます）。対角行列なら方程式は $d_{i} x_{i} \equiv 0 (mod n)$ に分かれ、それぞれの解の個数は $g cd (d_{i}, n)$ （ $d_{i} = 0$ なら $n$ ）なので、 $N_{n} (A) = \prod_{i} g cd (d_{i}, n)$ です。

一方、彩色の連立合同式には「全部の色に同じ数を足しても彩色のまま」という自由度があるので、1 本の弧の色を固定すると個数はちょうど $1/ n$ になります。この「1 本の弧の色を固定した彩色行列」と $V + V^{T}$ は、整数基本変形と、対角成分 $\pm 1$ のブロックの付け外し（ $g cd (\pm 1, n) = 1$ なので個数を変えない）で互いに移り合うことが知られています。よって $col_{n} (K) = n \prod_{i} g cd (d_{i}, n)$ が成り立ちます。とくに素数 $p$ では $col_{p} (K) = p \cdot p^{# {i : p ∣ d_{i}}}$ で、これが $p$ より大きい（非自明な彩色がある）ことと、ある $d_{i}$ が $p$ で割り切れること、すなわち $p ∣ d_{1} d_{2} \dots = det (K)$ が同値です。連結和 $K_{1} # K_{2}$ ではザイフェルト曲面を境界に沿ってつなげられるので、 $V$ は $V_{1}, V_{2}$ を対角に並べたブロック行列になり、 $det$ は積、不変因子は両方を合わせたものになります。これから $col_{n} (K_{1} # K_{2}) = n \prod g cd (d_{i}^{(1)}, n) \prod g cd (d_{j}^{(2)}, n) = col_{n} (K_{1}) col_{n} (K_{2}) / n$ が出ます。

手順

ザイフェルト行列 $V$ を用意し（連結和なら各成分の $V$ を対角に並べる）、対称行列 $A = V + V^{T}$ を作る
$det (K) = ∣ det A ∣$ を計算する（ $∣ Δ_{K} (- 1) ∣$ と一致することを検算に使える）
$A$ に整数の行・列基本変形（入れ替え、整数倍を加える、 $- 1$ 倍）を施し、対角行列 $diag (d_{1}, \dots, d_{m})$ にする。 $d_{i}$ の積の絶対値が $det (K)$ になることを確かめる
公式 $col_{n} (K) = n \prod_{i} g cd (d_{i}, n)$ に代入する。連結和で各成分の値がわかっていれば $col_{n} (K_{1} # K_{2}) = col_{n} (K_{1}) col_{n} (K_{2}) / n$ を使ってもよい

例題

三葉結び目 $3_{1}$ はザイフェルト行列 $V = (- 1 0 1 - 1)$ をもつ。連結和 $K = 3_{1} # 3_{1}$ について、フォックス $3$ 彩色の個数 $col_{3} (K)$ （自明な彩色も数える）を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $3_{1}$ について $V + V^{T} = (- 2 1 1 - 2)$ 。 $K = 3_{1} # 3_{1}$ のザイフェルト行列はこれを 2 つ対角に並べたものなので、 $A = V_{K} + V_{K}^{T}$ は $(- 2 1 1 - 2)$ を 2 つ対角に並べた $4$ 次行列。

【手順 2】 $det (- 2 1 1 - 2) = 4 - 1 = 3$ なので $det (K) = 3 \cdot 3 = 9$ 。

【手順 3】各ブロックを対角化する: 行を入れ替えて $(1 - 2 - 2 1)$ 、第 2 行に第 1 行の $2$ 倍を加えて $(10 - 2 - 3)$ 、第 2 列に第 1 列の $2$ 倍を加えて $(10 0 - 3)$ 、第 2 行を $- 1$ 倍して $diag (1, 3)$ 。よって $A$ の不変因子は $1, 1, 3, 3$ （積 $9 = det (K)$ で一致）。

【手順 4】 $col_{3} (K) = 3 \cdot g cd (1, 3) g cd (1, 3) g cd (3, 3) g cd (3, 3) = 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ 。
（検算: $col_{3} (3_{1}) = 3 \cdot 1 \cdot 3 = 9$ なので、連結和の公式でも $9 \cdot 9/3 = 27$ 。）

答え: $27$

よくある誤り

行列式だけから $col_{n} (K) = n g cd (det (K), n)$ としてしまう誤り。これは不変因子が $1, \dots, 1, det (K)$ の形のときしか正しくない。たとえば $3_{1} # 3_{1}$ では $det = 9$ から $3 g cd (9, 3) = 9$ としてしまうが、正しくは不変因子 $1, 1, 3, 3$ から $col_{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$
連結和の彩色の個数を単純な積 $col_{n} (K_{1}) col_{n} (K_{2})$ としてしまう誤り。自明な彩色の分の $n$ が二重に数えられるので、正しくは $col_{n} (K_{1} # K_{2}) = col_{n} (K_{1}) col_{n} (K_{2}) / n$ （例: $col_{3} (3_{1} # 3_{1}) = 81/3 = 27$ ）
公式の先頭の $n$ を落として $col_{n} (K) = \prod_{i} g cd (d_{i}, n)$ としてしまう誤り。 $V + V^{T}$ から得られるのは 1 本の弧の色を固定した個数なので、正しくは自明な彩色の自由度 $n$ を掛けて $n \prod_{i} g cd (d_{i}, n)$ （例: $col_{3} (3_{1}) = 3 \cdot 3 = 9$ で、 $3$ ではない）
対角化で行や列を $2$ 倍するなど、行列式が $\pm 1$ でない変形をしてしまう誤り。たとえば $(- 2 1 1 - 2)$ を $diag (2, \frac{3}{2})$ のように有理数で対角化すると不変因子が狂う。正しくは整数係数で逆も整数になる変形（入れ替え、整数倍を加える、 $- 1$ 倍）だけを使い、 $diag (1, 3)$ を得る

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
8 の字結び目 $K = 4_{1}$ のあるザイフェルト曲面（種数 $1$ ）について、 $H_{1}$ の基底から読み取ったザイフェルト行列が
$V = (- 1 0 11)$
であるとする。2 以上の整数 $n$ に対し、 $col_{n} (K)$ を $K$ の図式のフォックス $n$ 彩色（各弧に $Z / n Z$ の元を割り当て、各交点で上を通る弧の元 $a$ と下の 2 本の弧の元 $b, c$ が $2 a \equiv b + c (mod n)$ を満たすもの）の個数とする。ただし、すべての弧に同じ元を割り当てる自明な彩色も数える。
$V + V^{T}$ のスミス標準形の不変因子 $d_{1}, d_{2}$ を用いた公式 $col_{n} (K) = n \prod_{i} g cd (d_{i}, n)$ を使って、 $col_{10} (K)$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

プレッツェル結び目の不変量（大学院数学結び目理論）