結び目理論の問題

$S^3$ 内の結び目 $K$ が、種数 $2$ の連結で向き付け可能なザイフェルト曲面 $F$ を境界としてもつとする。$H_1(F;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^4$ のある基底 $a_1,a_2,a_3,a_4$ に関するザイフェルト行列 $V=(V_{ij})$（$V_{ij}=\mathrm{lk}(a_i,a_j^{+})$、$a_j^{+}$ は $a_j$ を $F$ の正の側へ押し出したもの）が
$$V=\left(\begin{array}{cccc}-1& 1& 2& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 2& 0& -1& 1\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$$
であった。

結び目の種数 $g(K)$ を、$K$ を境界とする $S^3$ 内の連結で向き付け可能な曲面の種数の最小値とし、符号数 $\sigma (K)$ を対称行列 $V+V^T$ の符号数（正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）とする。アレクサンダー多項式は ${\Delta }_K(t)=\det (V-t{V}^T)$ で定める。

組 $(g(K),\sigma (K))$ をこの順に求めよ。

5 本の紐のブレイド群 $B_5$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4$ とする。${\sigma }_i$ は $i$ 番目の位置の紐と $i+1$ 番目の位置の紐が交差する 1 つの交点を表し、閉包の各紐にブレイドの進む向きに沿って向きを入れたとき、${\sigma }_i$ の交点の符号は $+1$、${\sigma }_i^{-1}$ の交点の符号は $-1$ とする。ブレイドの語は左から右へ順に読む。

ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_3^2{\sigma }_2^{-1}{\sigma }_4^4{\sigma }_2^{-1}{\sigma }_3^{-3}\in B_5$$
の閉包 $\hat{\beta }$ を、上と同じ向きを入れた有向絡み目とする。$\hat{\beta }$ の成分の個数を $\mu$、$\hat{\beta }$ の相異なる 2 成分 $K_i,K_j$ $(i<j)$ のすべての組についての絡み数の和を
$$\Lambda =\sum _{i<j}\mathrm{lk}(K_i,K_j)$$
とする。組 $(\mu ,\Lambda )$ をこの順に求めよ。

$n\ge 2$ を整数とし、$n$ 本のひものブレイド群 $B_n$ を、生成元 ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_{n-1}$ と関係式
$${\sigma }_i{\sigma }_j={\sigma }_j{\sigma }_i(|i-j|\ge 2),{\sigma }_i{\sigma }_{i+1}{\sigma }_i={\sigma }_{i+1}{\sigma }_i{\sigma }_{i+1}(1\le i\le n-2)$$
によるアルティンの表示で定める。${\sigma }_i^{\pm 1}$ は、位置 $i$ と位置 $i+1$ のひもが $1$ 回交差する初等ブレイドを表す（${\sigma }_i$ と ${\sigma }_i^{-1}$ は交差の上下が逆）。

${\sigma }_1^{\pm 1},\dots ,{\sigma }_{n-1}^{\pm 1}$ からなる語 $w={\sigma }_{i_1}^{{\epsilon }_1}{\sigma }_{i_2}^{{\epsilon }_2}\cdots {\sigma }_{i_m}^{{\epsilon }_m}$（$m\ge 0$, ${\epsilon }_k\in \{1,-1\}$）に対し、その指数和を $e(w)={\sum }_{k=1}^m{\epsilon }_k$ とする。また、$w$ の文字を上から順に初等ブレイドとして並べたブレイドの図式で、上端の位置 $j$ の端点と下端の位置 $j$ の端点（$j=1,\dots ,n$）を互いに交わらない弧で結んで得られる絡み目の図式を、$w$ の閉包図式とよぶ。

語 $w$ の閉包図式が結び目（$1$ 成分の絡み目）を表すとする。このとき、$B_n$ において $w$ と同じ元を表す任意の語 $w^{\prime }$ に対して $e(w^{\prime })\equiv n-1(\mathrm{mod}2)$ であることを証明せよ。

4 本の紐のブレイド群 $B_4$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ とする（${\sigma }_i$ は $i$ 番目の紐と $i+1$ 番目の紐の交差で、閉包の各紐にブレイドの進む向きに沿って向きを入れたとき、符号 $+1$ の交点になるもの）。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_2^2{\sigma }_3^3{\sigma }_2\in B_4$$
の閉包を $\hat{\beta }$ とする。$\hat{\beta }$ は結び目（1 成分）になる。この結び目の種数（$\hat{\beta }$ を境界とする $S^3$ 内の連結で向き付け可能な曲面の種数の最小値）を求めよ。

5 本の紐のブレイド群 $B_5$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4$ とする。${\sigma }_i$ は $i$ 番目の紐と $i+1$ 番目の紐の正の交差 1 つ、${\sigma }_i^{-1}$ は負の交差 1 つを表し、閉包の各紐にはブレイドの進む向き（語を左から右へ読む向き）に沿って向きを入れる。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_2^{-2}{\sigma }_3{\sigma }_4^2{\sigma }_3{\sigma }_2^2$$
の閉包として得られる向き付けられた絡み目を $L=\hat{\beta }$ とする。$L$ の相異なる 2 つの成分 $K_i,K_j$ の絡み数 $\mathrm{lk}(K_i,K_j)$ は、$K_i$ と $K_j$ の間の交差の符号の和の $\frac{1}{2}$ で定める。

$L$ のすべての成分の対 $\{K_i,K_j\}$（$i\ne j$）についての絡み数の和 $\sum _{i<j}\mathrm{lk}(K_i,K_j)$ を求めよ。