結び目理論の問題

方針. まず指数和が $B_n$ の元だけで決まること（$e(w^{\prime })=e(w)$）を示し、次に $w$ 自身について $e(w)\equiv n-1(\mathrm{mod}2)$ を、ひもの置換の符号を $2$ 通りに計算して示す。

(1) 指数和は $B_n$ の元だけで決まる. $F$ を ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_{n-1}$ を基底とする自由群とし、準同型 $\tilde{e}:F\to \mathbb{Z}$ を $\tilde{e}({\sigma }_i)=1$ $(1\le i\le n-1)$ で定める（自由群の普遍性により一意に存在する）。語 $w$ を $F$ の元と見ると、$\tilde{e}$ が準同型であることから $\tilde{e}(w)={\sum }_k{\epsilon }_k\tilde{e}({\sigma }_{i_k})={\sum }_k{\epsilon }_k=e(w)$ である。

アルティンの表示により $B_n=F/N$ であり、$N$ は関係子 $r_{ij}={\sigma }_i{\sigma }_j{\sigma }_i^{-1}{\sigma }_j^{-1}$ $(|i-j|\ge 2)$ と $t_i={\sigma }_i{\sigma }_{i+1}{\sigma }_i{\sigma }_{i+1}^{-1}{\sigma }_i^{-1}{\sigma }_{i+1}^{-1}$ $(1\le i\le n-2)$ で生成される正規部分群である。各関係子の $\tilde{e}$ の値は
$$\tilde{e}(r_{ij})=1+1-1-1=0,\tilde{e}(t_i)=1+1+1-1-1-1=0$$
なので、関係子はすべて $\ker \tilde{e}$ に入る。$\ker \tilde{e}$ は正規部分群であり、$N$ は関係子を含む最小の正規部分群なので $N\subset \ker \tilde{e}$ である。

$w,w^{\prime }$ が $B_n$ の同じ元を表すとは、$F$ において $wN=w^{\prime }N$、すなわち $w^{-1}{w}^{\prime }\in N$ であることである。このとき $\tilde{e}(w^{-1}{w}^{\prime })=0$ だから $\tilde{e}(w^{\prime })=\tilde{e}(w)$、すなわち $e(w^{\prime })=e(w)$ である。

(2) ひもの置換. 語 $w={\sigma }_{i_1}^{{\epsilon }_1}\cdots {\sigma }_{i_m}^{{\epsilon }_m}$ のブレイドの図式で、上端の位置 $p$ から出発したひもが下端で到達する位置を ${\tau }_w(p)$ とする。$n$ 本のひもは上端の $n$ 個の位置と下端の $n$ 個の位置を $1$ 対 $1$ に結ぶので、${\tau }_w$ は $\{1,\dots ,n\}$ の置換である。${\sigma }_i^{\pm 1}$ の部分では、位置 $i$ と位置 $i+1$ のひもが入れ替わり、他のひもは位置を変えない。互換を $(ii+1)\in S_n$ と書くと、ひもは上から順に初等ブレイドを通過するので
$${\tau }_w=(i_m{i}_m+1)\circ \cdots \circ (i_2{i}_2+1)\circ (i_1{i}_1+1)$$
である（${\epsilon }_k$ の値によらない。$m=0$ なら恒等置換）。${\tau }_w$ は $m$ 個の互換の積なので $\mathrm{sgn}({\tau }_w)=(-1{)}^m$ である。一方、各 ${\epsilon }_k=\pm 1$ は奇数なので $e(w)={\sum }_{k=1}^m{\epsilon }_k\equiv m(\mathrm{mod}2)$ である。よって
$$\mathrm{sgn}({\tau }_w)=(-1{)}^{e(w)}.$$

(3) 閉包図式の成分と ${\tau }_w$ の巡回. $w$ の閉包図式を考える。上端の位置 $p$ から出発してひもに沿って下へ進むと、下端の位置 ${\tau }_w(p)$ に着き、閉包の弧によって上端の位置 ${\tau }_w(p)$ に戻り、そこから再びひもに沿って下端の位置 ${\tau }_w^2(p)$ に着く、というように進む。$p$ の ${\tau }_w$ による軌道の長さを $\ell$ とすると（$\{1,\dots ,n\}$ は有限なので $\ell \ge 1$ は有限で、${\tau }_w^{\ell }(p)=p$ となる最小の正の整数）、上端の位置 $p,{\tau }_w(p),\dots ,{\tau }_w^{\ell -1}(p)$ から出る $\ell$ 本のひもと、それらを結ぶ $\ell$ 本の弧を通って出発点に戻り、閉曲線が $1$ つ閉じる。これが上端の位置 $p$ を通る成分であり、この成分が上端で通る位置の集合はちょうど $p$ の軌道 $\{{\tau }_w^k(p)\mid 0\le k<\ell \}$ である。

閉包図式は $n$ 本のひもと $n$ 本の弧からなり、各成分は少なくとも $1$ 本のひもを含むので上端の位置のどれかを通る。また、上の議論より $2$ つの上端の位置が同じ成分上にあるのは、それらが同じ軌道に属するときに限る。よって閉包図式の成分は ${\tau }_w$ の軌道と $1$ 対 $1$ に対応し、成分の個数は ${\tau }_w$ の巡回分解における巡回の個数（長さ $1$ の巡回を含む）に等しい。

(4) $w$ についての合同式. $w$ の閉包図式は結び目を表すので、成分の個数は $1$ であり、$(3)$ より ${\tau }_w$ の巡回分解はただ $1$ つの巡回からなる。この巡回は $\{1,\dots ,n\}$ 全体を動かすので、${\tau }_w$ は長さ $n$ の巡回置換 $(a_1{a}_2\cdots a_n)$ である。これは
$$(a_1{a}_2\cdots a_n)=(a_1{a}_n)(a_1{a}_{n-1})\cdots (a_1{a}_2)$$
と $n-1$ 個の互換の積に書けるので（右から順に適用すると $a_1\mapsto a_2$, $a_j\mapsto a_{j+1}$ $(2\le j\le n-1)$, $a_n\mapsto a_1$ となることが確かめられる）、その符号は $(-1{)}^{n-1}$ である。$(2)$ と合わせて
$$(-1{)}^{e(w)}=\mathrm{sgn}({\tau }_w)=(-1{)}^{n-1}$$
となり、$e(w)\equiv n-1(\mathrm{mod}2)$ である。

(5) 結論. $w^{\prime }$ を $B_n$ で $w$ と同じ元を表す任意の語とすると、$(1)$ より $e(w^{\prime })=e(w)$ であり、$(4)$ より $e(w^{\prime })=e(w)\equiv n-1(\mathrm{mod}2)$ である。$■$