結び目理論の問題

1. 2 橋結び目の行列式。 行列式は $\det K=|{\Delta }_K(-1)|$ で与えられる。
$${\Delta }_{6_1}(-1)=2+5+2=9,{\Delta }_{7_7}(-1)=1+5+9+5+1=21,{\Delta }_{9_1}(-1)=1+1+1+1+1+1+1+1+1=9.$$
よって $\det 6_1=9$, $\det 7_7=21$, $\det 9_1=9$ である。

2. 彩色の個数と 2 重分岐被覆。 交点が $n$ 個の図式（弧も $n$ 本）について、各交点の関係式 $2a-b-c=0$ を並べた $n\times n$ の整数行列を彩色行列 $M$ とする。Fox $m$ 彩色とは、$M$ の $\mathbb{Z}/m$ 上の核の元のことである。各行の和は $0$ なので、定数ベクトルは核に入る。また、ある 1 行と 1 列を除いた縮小行列 $M^{\prime }$ の余核は、$K$ の 2 重分岐被覆 ${\Sigma }_2(K)$ の 1 次ホモロジー $H_1({\Sigma }_2(K);\mathbb{Z})$ と同型である（その位数は $|\det M^{\prime }|=\det K$）。

除いた列に対応する弧の色を $0$ に固定した彩色は $\ker (M^{\prime }\mathrm{mod}m)$ の元と 1 対 1 に対応する。任意の彩色は、これに定数 $s\in \mathbb{Z}/m$ を足したものとしてただ 1 通りに書ける。よって ${\mathrm{Col}}_m(K)=m\cdot |\ker (M^{\prime }\mathrm{mod}m)|$ である。$M^{\prime }$ のスミス標準形を $\mathrm{diag}(d_1,\dots ,d_{n-1})$ とすると、
$$|\ker (M^{\prime }\mathrm{mod}m)|=\prod _i\gcd (d_i,m)=\left|\mathrm{Hom}\right({⨁}_i\mathbb{Z}/d_i,\mathbb{Z}/m\left)\right|$$
が成り立つ。したがって
$${\mathrm{Col}}_m(K)=m\cdot \left|\mathrm{Hom}\right(H_1({\Sigma }_2(K)),\mathbb{Z}/m\left)\right|(\ast )$$
である。

3. 連結和の 2 重分岐被覆。 $K_1\#K_2$ を作るときに使う分離球面 $S$ は、結び目とちょうど 2 点で交わる。2 点で分岐する $S$ の 2 重被覆はまた 2 次元球面である。したがって ${\Sigma }_2(K_1\#K_2)$ はこの球面で 2 つに分かれ、${\Sigma }_2(K_1\#K_2)\cong {\Sigma }_2(K_1)\#{\Sigma }_2(K_2)$ となる。3 次元多様体の連結和に対しては、マイヤー・ヴィートリス完全列（貼り合わせる部分 $S^2$ の $H_1$ は $0$）により
$$H_1({\Sigma }_2(K_1\#K_2))\cong H_1({\Sigma }_2(K_1))\oplus H_1({\Sigma }_2(K_2))$$
が成り立つ。繰り返し使うと
$$H_1({\Sigma }_2(6_1\#7_7\#9_1))\cong H_1({\Sigma }_2(6_1))\oplus H_1({\Sigma }_2(7_7))\oplus H_1({\Sigma }_2(9_1))$$
である。

4. 2 橋結び目の場合。 2 橋結び目 $K$ の ${\Sigma }_2(K)$ はレンズ空間 $L(p,q)$（$p=\det K$）であり、$H_1\cong \mathbb{Z}/p$ は巡回群である。したがって
$$H_1({\Sigma }_2(K))\cong \mathbb{Z}/9\oplus \mathbb{Z}/21\oplus \mathbb{Z}/9$$
となる。$|\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/d,\mathbb{Z}/m)|=\gcd (d,m)$ であり、$\mathrm{Hom}(A\oplus B,\mathbb{Z}/m)\cong \mathrm{Hom}(A,\mathbb{Z}/m)\times \mathrm{Hom}(B,\mathbb{Z}/m)$ であるから、
$$|\mathrm{Hom}(H_1({\Sigma }_2(K)),\mathbb{Z}/9)|=\gcd (9,9)\cdot \gcd (21,9)\cdot \gcd (9,9)=9\cdot 3\cdot 9=243.$$
$(\ast )$ より
$${\mathrm{Col}}_9(K)=9\cdot 243=2187$$
となる。

（参考：$(\ast )$ と第 3 節から、一般に ${\mathrm{Col}}_m(K_1\#K_2)={\mathrm{Col}}_m(K_1){\mathrm{Col}}_m(K_2)/m$ が成り立つ。各成分の値 ${\mathrm{Col}}_9(6_1)=81$, ${\mathrm{Col}}_9(7_7)=27$, ${\mathrm{Col}}_9(9_1)=81$ を使うと $81\cdot 27\cdot 81/81=2187$ となり、上の結果と一致する。）

注意. $\det K=9\cdot 21\cdot 9=1701$ だけを見て $9\cdot \gcd (9,1701)=81$ とするのは誤りである。$H_1({\Sigma }_2(K))$ は巡回群ではないので、巡回群の場合の公式 $m\gcd (m,\det K)$ は使えない。

答え: $2187$

Fox 9 彩色の個数は、2 重分岐被覆の第 1 ホモロジー群 $H=H_1({\Sigma }_2(K);\mathbb{Z})$ を用いて ${\mathrm{Col}}_9(K)=9\cdot |\mathrm{Hom}(H,\mathbb{Z}/9)|$ と表せる。ここで係数 9 は、すべての弧に同じ元を割り当てる自明な彩色の個数にあたる。

1. 行列式を $|\Delta (-1)|$ で求める。
- $6_1$: $|-2(-1)+5-2(-1)|=9$
- $7_7$: $1+5+9+5+1=21$
- $9_1$: 交代和の各項が $+1$ になるので $9$

2. 2 橋結び目の 2 重分岐被覆はレンズ空間である。よって $H$ は行列式の位数をもつ巡回群になる。
- $H(6_1)=\mathbb{Z}/9$
- $H(7_7)=\mathbb{Z}/21$
- $H(9_1)=\mathbb{Z}/9$

3. 連結和では 2 重分岐被覆も連結和になるので、$H$ は直和になる。
$$H=\mathbb{Z}/9\oplus \mathbb{Z}/21\oplus \mathbb{Z}/9.$$

4. $|\mathrm{Hom}(H,\mathbb{Z}/9)|$ を数える。巡回群 $\mathbb{Z}/m$ から $\mathbb{Z}/9$ への準同型の個数は $\gcd (m,9)$ である。
$$9\cdot \gcd (21,9)\cdot 9=9\cdot 3\cdot 9=243.$$

5. したがって ${\mathrm{Col}}_9(K)=9\cdot 243=2187=3^7$ となる。

検算: 単一の結び目 $6_1$ では $9\cdot 9=81$ 個の彩色があり、これは係数行列の行列式 9 と整合する。