結び目理論の問題

3 本の紐のブレイド群 $B_3$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ とし、${\sigma }_i$ は位置 $i$ の紐が位置 $i+1$ の紐の上を通って位置 $i+1$ へ移る交差、${\sigma }_i^{-1}$ は位置 $i+1$ の紐が位置 $i$ の紐の上を通って位置 $i$ へ移る交差とする。ブレイドの語は左から右へ順に読む。結び目 $K$ を
$$\beta =({\sigma }_1{\sigma }_2^{-1}{)}^4\in B_3$$
の閉包 $\hat{\beta }$ とする（$K$ は Rolfsen の表の $8_{18}$ である）。

2 以上の整数 $n$ に対し、$K$ の図式のフォックス $n$ 彩色とは、図式の各弧に $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の元（色）を割り当てる方法であって、各交点で上を通る弧の色を $a$、下を通る 2 本の弧の色を $b,c$ とするとき $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}n)$ を満たすものをいう（すべての弧が同じ色の彩色も含める）。フォックス $n$ 彩色の個数は図式の取り方によらない。

$K$ の閉ブレイド図式 $\hat{\beta }$ のフォックス $15$ 彩色の個数を求めよ。

プレッツェル結び目 $P(3,3,3)$（Rolfsen の表の $9_{35}$）を $K$ とする。$K$ の図式のフォックス 3 彩色（各弧に $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ の元を割り当て、各交点で上を通る弧の色を $x$、下を通る 2 本の弧の色を $y,z$ とするとき $2x\equiv y+z(\mathrm{mod}3)$ を満たすもの）の個数を求めよ。ただし、すべての弧に同じ色を割り当てる自明な彩色も 1 個と数える。

Rolfsen の表の結び目 $K=7_4$ を考える。$K$ のアレクサンダー多項式は（${\Delta }_K(t)={\Delta }_K(t^{-1})$ となるように正規化して）
$${\Delta }_K(t)=4t-7+4t^{-1}$$
である。結び目の行列式を $\det (K)=|{\Delta }_K(-1)|$ で定める。

2 以上の整数 $n$ に対し、$K$ の図式のフォックス $n$ 彩色とは、図式の各弧に $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の元を割り当てて、各交点で上を通る弧の色を $a$、下を通る 2 本の弧の色を $b,c$ とするとき $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}n)$ が成り立つようにしたものとする。すべての弧が同じ色である彩色を自明な彩色と呼ぶ。

$2\le n\le 30$ を満たす整数 $n$ のうち、$K$ が自明でないフォックス $n$ 彩色をもつようなものの個数を求めよ。ただし、自明でない $n$ 彩色が存在するかどうかは図式の選び方によらないことを用いてよい。

Rolfsen の表の結び目 $K=7_7$ を考える。$K$ のアレクサンダー多項式は（${\Delta }_K(t)={\Delta }_K(t^{-1})$ となるように正規化して）
$${\Delta }_K(t)=t^2-5t+9-5t^{-1}+t^{-2}$$
であり、$K$ の橋数は $2$ である。

素数 $p$ に対し、$K$ の図式のフォックス $p$ 彩色とは、図式の各弧に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の元を割り当てる方法であって、各交点で上を通る弧の色を $a$、下を通る 2 本の弧の色を $b,c$ とするとき $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}p)$ を満たすものをいう（すべての弧が同じ色の自明な彩色も含める）。その個数は図式の取り方によらない $K$ の不変量であり、これを $c_p(K)$ とおく。

$c_p(K)\ne p$ となる素数 $p$ は有限個しかない。
$$S=\sum _{p:\text{素数}}(c_p(K)-p)$$
の値を求めよ。

結び目 $K$ の図式 $D$ の各弧に $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ の元を 1 つずつ割り当てる。どの交点においても、上を通る弧の元を $a$、その交点で分断される 2 本の下の弧の元を $b,c$ とするとき
$$2a\equiv b+c(\mathrm{mod}9)$$
が成り立つ割り当てを、$D$ の Fox $9$ 彩色とよぶ。すべての弧に同じ元を割り当てる自明な彩色も含めて数える。この個数はライデマイスター移動で変わらないので、結び目の不変量である。これを ${\mathrm{Col}}_9(K)$ と書く。

Rolfsen の表の結び目 $6_1$, $7_7$, $9_1$ はいずれも 2 橋結び目である。そのアレクサンダー多項式は（$\Delta (t)=\Delta (t^{-1})$ となるように正規化して）次のとおりである。
$${\Delta }_{6_1}(t)=-2t+5-2t^{-1},{\Delta }_{7_7}(t)=t^2-5t+9-5t^{-1}+t^{-2},$$
$${\Delta }_{9_1}(t)=t^4-t^3+t^2-t+1-t^{-1}+t^{-2}-t^{-3}+t^{-4}.$$
連結和 $K=6_1\#7_7\#9_1$ に対して、${\mathrm{Col}}_9(K)$ を求めよ。