結び目理論の問題

Rolfsen の表の結び目 $K=7_4$ を考える。$K$ のアレクサンダー多項式は（${\Delta }_K(t)={\Delta }_K(t^{-1})$ となるように正規化して）
$${\Delta }_K(t)=4t-7+4t^{-1}$$
である。結び目の行列式を $\det (K)=|{\Delta }_K(-1)|$ で定める。

2 以上の整数 $n$ に対し、$K$ の図式のフォックス $n$ 彩色とは、図式の各弧に $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の元を割り当てて、各交点で上を通る弧の色を $a$、下を通る 2 本の弧の色を $b,c$ とするとき $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}n)$ が成り立つようにしたものとする。すべての弧が同じ色である彩色を自明な彩色と呼ぶ。

$2\le n\le 30$ を満たす整数 $n$ のうち、$K$ が自明でないフォックス $n$ 彩色をもつようなものの個数を求めよ。ただし、自明でない $n$ 彩色が存在するかどうかは図式の選び方によらないことを用いてよい。

Rolfsen の表の結び目 $K=9_{46}$ を考える。$K$ はプレッツェル結び目 $P(3,3,-3)$ と同じ結び目である。

2 以上の整数 $n$ に対し、$K$ の図式のフォックス $n$ 彩色とは、図式の各弧に $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の元を割り当てる方法であって、各交点で上を通る弧の色を $a$、下を通る 2 本の弧の色を $b,c$ とするとき
$$2a\equiv b+c(\mathrm{mod}n)$$
が成り立つものをいう（すべての弧が同じ色である自明な彩色も数える）。この個数 $c_n(K)$ は図式の選び方によらない $K$ の不変量である。

$c_3(K),c_9(K),c_{15}(K)$ をこの順に組で求めよ。

8 の字結び目 $K=4_1$ のあるザイフェルト曲面（種数 $1$）について、$H_1$ の基底から読み取ったザイフェルト行列が
$$V=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$$
であるとする。2 以上の整数 $n$ に対し、${\mathrm{col}}_n(K)$ を $K$ の図式のフォックス $n$ 彩色（各弧に $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の元を割り当て、各交点で上を通る弧の元 $a$ と下の 2 本の弧の元 $b,c$ が $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}n)$ を満たすもの）の個数とする。ただし、すべての弧に同じ元を割り当てる自明な彩色も数える。

$V+V^T$ のスミス標準形の不変因子 $d_1,d_2$ を用いた公式 ${\mathrm{col}}_n(K)=n{\prod }_i\gcd (d_i,n)$ を使って、${\mathrm{col}}_{10}(K)$ を求めよ。

Rolfsen の表の結び目 $K=7_7$ を考える。$K$ のアレクサンダー多項式は（${\Delta }_K(t)={\Delta }_K(t^{-1})$ となるように正規化して）
$${\Delta }_K(t)=t^2-5t+9-5t^{-1}+t^{-2}$$
であり、$K$ の橋数は $2$ である。

素数 $p$ に対し、$K$ の図式のフォックス $p$ 彩色とは、図式の各弧に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の元を割り当てる方法であって、各交点で上を通る弧の色を $a$、下を通る 2 本の弧の色を $b,c$ とするとき $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}p)$ を満たすものをいう（すべての弧が同じ色の自明な彩色も含める）。その個数は図式の取り方によらない $K$ の不変量であり、これを $c_p(K)$ とおく。

$c_p(K)\ne p$ となる素数 $p$ は有限個しかない。
$$S=\sum _{p:\text{素数}}(c_p(K)-p)$$
の値を求めよ。

8 の字結び目 $4_1$ の交点数 4 の図式 $D$ は 4 本の弧 $x_1,x_2,x_3,x_4$ と 4 つの交点 $c_1,c_2,c_3,c_4$ をもち、各交点で上を通る弧と、その交点で分断される 2 本の下の弧は次のとおりである。

• $c_1$: 上の弧 $x_1$、下の弧 $x_2,x_3$
• $c_2$: 上の弧 $x_2$、下の弧 $x_3,x_4$
• $c_3$: 上の弧 $x_3$、下の弧 $x_4,x_1$
• $c_4$: 上の弧 $x_4$、下の弧 $x_1,x_2$

$D$ のフォックス 5 彩色とは、各弧 $x_i$ に $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ の元（同じ記号 $x_i$ で表す）を割り当てる方法であって、どの交点でも、上の弧の元を $a$、下の 2 本の弧の元を $b,c$ とするとき $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}5)$ が成り立つものをいう。すべての弧に同じ元を割り当てる自明な彩色も数えるとき、$D$ のフォックス 5 彩色の個数 ${\mathrm{col}}_5(4_1)$ を求めよ。