結び目理論の問題

プレッツェル結び目 $P(3,3,3)$（Rolfsen の表の $9_{35}$）を $K$ とする。$K$ の図式のフォックス 3 彩色（各弧に $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ の元を割り当て、各交点で上を通る弧の色を $x$、下を通る 2 本の弧の色を $y,z$ とするとき $2x\equiv y+z(\mathrm{mod}3)$ を満たすもの）の個数を求めよ。ただし、すべての弧に同じ色を割り当てる自明な彩色も 1 個と数える。

8 の字結び目 $4_1$ の交点数 4 の図式 $D$ は 4 本の弧 $x_1,x_2,x_3,x_4$ と 4 つの交点 $c_1,c_2,c_3,c_4$ をもち、各交点で上を通る弧と、その交点で分断される 2 本の下の弧は次のとおりである。

• $c_1$: 上の弧 $x_1$、下の弧 $x_2,x_3$
• $c_2$: 上の弧 $x_2$、下の弧 $x_3,x_4$
• $c_3$: 上の弧 $x_3$、下の弧 $x_4,x_1$
• $c_4$: 上の弧 $x_4$、下の弧 $x_1,x_2$

$D$ のフォックス 5 彩色とは、各弧 $x_i$ に $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ の元（同じ記号 $x_i$ で表す）を割り当てる方法であって、どの交点でも、上の弧の元を $a$、下の 2 本の弧の元を $b,c$ とするとき $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}5)$ が成り立つものをいう。すべての弧に同じ元を割り当てる自明な彩色も数えるとき、$D$ のフォックス 5 彩色の個数 ${\mathrm{col}}_5(4_1)$ を求めよ。

$S^3$ 内の向き付けられた結び目 $K$ が、種数 $1$ の連結で向き付け可能なザイフェルト曲面 $F$ の境界になっており、$H_1(F;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^2$ のある基底に関するザイフェルト行列が
$$V=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$$
であるとする。$K$ の符号数 $\sigma (K)$ を、実対称行列 $V+V^T$ の正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いた値（重複度を込めて数える）と定める。$\sigma (K)$ を求めよ。

奇数 $p,q,r$ に対するプレッツェル結び目 $P(p,q,r)$ には標準的な種数 $1$ のザイフェルト曲面があり、その $H_1$ のある基底に関するザイフェルト行列は
$$V=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}p+q& q+1\\ q-1& q+r\end{array}\right)$$
で与えられる。結び目 $K$ の行列式を $\det (K)=|\det (V+V^T)|$ と定める。

$K=P(3,5,-7)$ のとき、$\det (K)$ を求めよ。

$S^3$ 内の向き付けられた結び目 $K$ が、種数 $1$ の連結で向き付け可能なザイフェルト曲面 $F$ を境界としてもつとする。$H_1(F;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^2$ の基底 $a_1,a_2$ をとり、$a_j^{+}$ を $a_j$ を $F$ の正の法線方向に少し押し出した曲線とする。絡み数 $V_{ij}=\mathrm{lk}(a_i,a_j^{+})$ を並べたザイフェルト行列が
$$V=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$$
であった。$t$ を変数とする多項式 $\det (V-t{V}^T)$ を求めよ（$V^T$ は $V$ の転置行列）。