ザイフェルト行列とアレクサンダー多項式

ザイフェルト曲面の $H_{1}$ の基底から $V_{ij} = lk (a_{i}, a_{j}^{+})$ を読み取り、 $Δ_{K} (t) = det (V - t V^{T})$ を計算して、アレクサンダー多項式を $\pm t^{k}$ 倍の違いを除いて求められる

前提

行列式（大学数学線形代数）
絡み数（大学院数学結び目理論）

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算数中学高校大学大学院

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絡み数（大学院数学結び目理論）

説明

結び目 $K$ を境界とする向き付け可能な連結曲面（ザイフェルト曲面） $F$ を 1 つとり、その上の閉曲線の基底 $a_{1}, \dots, a_{2 g}$ どうしの絡み方を並べた整数行列がザイフェルト行列 $V$ です。 $V$ から $Δ_{K} (t) = det (V - t V^{T})$ を計算すると、曲面や基底の選び方によらず、 $\pm t^{k}$ 倍の違いを除いて結び目だけで決まる多項式（アレクサンダー多項式）が得られます。結び目を区別したり、種数の下界を調べたりする基本的な道具です。

なぜそうしてよいのか

$F$ は向き付けられているので、表側（正の法線方向）がはっきり決まります。曲面上の閉曲線 $a_{j}$ を表側へ少しだけ押し出した曲線を $a_{j}^{+}$ とすると、 $a_{j}^{+}$ は $F$ から離れているので、 $a_{i}$ と $a_{j}^{+}$ は交わらない 2 つの閉曲線になり、絡み数 $V_{ij} = lk (a_{i}, a_{j}^{+})$ が定まります。 $i = j$ でも、 $a_{i}$ とその押し出し $a_{i}^{+}$ は別の曲線なので $V_{ii}$ は意味をもちます（曲面上で帯がねじれている回数を測る）。絡み数は 2 つの曲線について対称なので、押し出す側を入れ替えた $lk (a_{i}^{+}, a_{j})$ は $lk (a_{j}, a_{i}^{+}) = V_{j i}$ に等しく、 $V^{T}$ は「 $a_{i}$ の方を押し出した」絡み数の行列です。 $V - V^{T}$ の成分は $a_{i}$ と $a_{j}$ の曲面上の交点の符号付き個数になり、結び目（1 成分）では $det (V - V^{T}) = 1$ となります。これから $Δ_{K} (1) = \pm 1$ がわかり、検算に使えます。

$V$ そのものは基底や曲面の取り方で変わります。基底を整数行列 $P$ （ $det P = \pm 1$ ）で取り替えると $V$ は $P V P^{T}$ に変わり、 $det (P V P^{T} - tP V^{T} P^{T}) = (det P)^{2} det (V - t V^{T}) = det (V - t V^{T})$ なので行列式は変わりません。

また曲面に細い管（持ち手）を付け足して種数を 1 増やすと、新しい 2 本の基底曲線が加わり、ザイフェルト行列は（基底をうまくとると）整数の列ベクトル $ξ, η$ を使って
$V^{'} = V η^{T} 0 ξ 00 010$
の形になります（ $1$ と $0$ の位置が入れ替わった形もある）。このとき
$V^{'} - t V^{' T} = V - t V^{T} η^{T} - t ξ^{T} 0 ξ - t η 0 - t 010$
で、最後の行（成分は $- t$ だけ）で余因子展開すると $(- 1)^{(2 g + 2) + (2 g + 1)} (- t) = t$ 倍の小行列式が残り、その小行列式を最後の列（成分は $1$ だけ）で展開すると $det (V - t V^{T})$ になります。よって $det (V^{'} - t V^{' T}) = t det (V - t V^{T})$ で、行列式は $t$ 倍（入れ替わった形では $\pm t$ 倍などのべき倍）しか変わりません。どの 2 つのザイフェルト曲面もこのような操作と基底の取り替えで移り合うことが知られているので、 $det (V - t V^{T})$ は $\pm t^{k}$ 倍の違いを除いて結び目の不変量になります。

手順

ザイフェルト曲面 $F$ の上で、閉曲線の基底 $a_{1}, \dots, a_{2 g}$ （ $g$ は種数）と曲面の表側を確認する
各 $(i, j)$ について $a_{j}$ を表側に押し出した $a_{j}^{+}$ と $a_{i}$ の絡み数を読み取り、 $V_{ij} = lk (a_{i}, a_{j}^{+})$ として $2 g$ 次正方行列 $V$ を作る
転置 $V^{T}$ を作り、行列 $V - t V^{T}$ を書く（成分は $t$ の 1 次式）
行列式 $det (V - t V^{T})$ を余因子展開などで計算する
検算として $t = 1$ を代入し $\pm 1$ になることを確かめ、問題で指定された形（ $\pm t^{k}$ 倍の調整）に整える

例題

結び目 $K$ のザイフェルト曲面（種数 1）の上の閉曲線の基底 $a_{1}, a_{2}$ について、表側への押し出しとの絡み数が
$lk (a_{1}, a_{1}^{+}) = 1, lk (a_{1}, a_{2}^{+}) = 1, lk (a_{2}, a_{1}^{+}) = 0, lk (a_{2}, a_{2}^{+}) = - 1$
であった。 $Δ_{K} (t) = det (V - t V^{T})$ を $\pm t^{k}$ 倍して、 $t$ の負のべきを含まず、定数項が正の整数である多項式の形に整えたものを求めよ（ $V$ はザイフェルト行列）。

例題の解答

手順 1・2: $V_{ij} = lk (a_{i}, a_{j}^{+})$ より
$V = (10 1 - 1) .$

手順 3: $V^{T} = (11 0 - 1)$ なので
$V - t V^{T} = (1 - t - t 1 - 1 + t) .$

手順 4: $det (V - t V^{T}) = (1 - t) (t - 1) - 1 \cdot (- t) = - (t - 1)^{2} + t = - t^{2} + 3 t - 1$ 。

手順 5: $t = 1$ で $- 1 + 3 - 1 = 1$ となり $\pm 1$ の検算に合う。この多項式は負のべきを含まないので、 $- 1$ 倍して定数項を正にすると $t^{2} - 3 t + 1$ （これは 8 の字結び目 $4_{1}$ のアレクサンダー多項式と一致する）。

答え: $t^{2} - 3 t + 1$

よくある誤り

転置を忘れて $det (V - t V)$ を計算してしまう誤り。例では $det V = - 1$ なので $(1 - t)^{2} det V = - (1 - t)^{2}$ となり、 $t = 1$ で 0 になって検算に反する。正しくは $det (V - t V^{T}) = - t^{2} + 3 t - 1$ で、 $t = 1$ で $\pm 1$ になる
$V_{ij}$ を $lk (a_{i}, a_{j})$ （押し出さない曲線どうし）や、 $a_{i}$ の方を押し出した $lk (a_{i}^{+}, a_{j})$ と読んでしまう誤り。 $a_{i}$ と $a_{j}$ は曲面上で交わりうるので絡み数が定まらず、また $lk (a_{i}^{+}, a_{j}) = V_{j i}$ なので $V$ と $V^{T}$ が入れ替わる。正しくは $V_{ij} = lk (a_{i}, a_{j}^{+})$ と押し出す側を固定する
$V$ が対称行列だと思い込み、 $V_{12} = V_{21}$ としてしまう誤り。例で $V_{21} = 1$ とすると $V = (11 1 - 1)$ 、 $det V = - 2$ で、 $V - t V^{T} = (1 - t) V$ より行列式は $- 2 (1 - t)^{2}$ となり、 $t = 1$ で 0 になって検算に反する。正しくは $V_{12} - V_{21}$ は $a_{1}, a_{2}$ の交点の符号付き個数で、例では $1 - 0 = 1$
$\pm t^{k}$ 倍の違いを無視して比べてしまう誤り。 $- t^{2} + 3 t - 1$ 、 $t^{2} - 3 t + 1$ 、 $- t + 3 - t^{- 1}$ はどれも同じアレクサンダー多項式を表す。問題が指定した形（ここでは負べきなし・定数項正）にそろえてから答える

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$S^{3}$ 内の向き付けられた結び目 $K$ が、種数 $1$ の連結で向き付け可能なザイフェルト曲面 $F$ を境界としてもつとする。 $H_{1} (F; Z) ≅ Z^{2}$ の基底 $a_{1}, a_{2}$ をとり、 $a_{j}^{+}$ を $a_{j}$ を $F$ の正の法線方向に少し押し出した曲線とする。絡み数 $V_{ij} = lk (a_{i}, a_{j}^{+})$ を並べたザイフェルト行列が
$V = (20 1 - 1)$
であった。 $t$ を変数とする多項式 $det (V - t V^{T})$ を求めよ（ $V^{T}$ は $V$ の転置行列）。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

コンウェイ多項式とスケイン関係式（大学院数学結び目理論）
結び目の行列式と彩色の個数（大学院数学結び目理論）
結び目の符号数（大学院数学結び目理論）
結び目の種数とザイフェルトのアルゴリズム（大学院数学結び目理論）