結び目の符号数

ザイフェルト行列から対称行列 $V + V^{T}$ を作り、固有値の符号または平方完成で符号数 $σ (K)$ を求められる。問題文の規約（正の三葉結び目が $- 2$ など）に符号を合わせられ、連結和で符号数が和になることも使える

前提

ザイフェルト行列とアレクサンダー多項式（大学院数学結び目理論）
2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）

説明

結び目の符号数 $σ (K)$ は、ザイフェルト行列 $V$ から作った対称行列 $V + V^{T}$ の「正の固有値の個数 − 負の固有値の個数」として定まる整数の不変量です。アレクサンダー多項式では区別できない鏡像（たとえば左右の三葉結び目）を、符号の違いで区別できるのが大きな特徴です。計算は、対称行列の直交対角化で固有値の符号を調べるか、2 次形式 $x^{T} (V + V^{T}) x$ を平方完成して係数の符号を数えるだけで済みます。連結和では符号数が足し算になるので、複雑な結び目の値も成分の値から求められます。

なぜそうしてよいのか

ザイフェルト曲面の $H_{1}$ の基底を取り替えると、基底の変換行列 $P$ （整数成分で行列式 $\pm 1$ ）によって $V$ は $P^{T} V P$ に、したがって $A = V + V^{T}$ は $P^{T} A P$ に変わります（このように $P^{T} A P$ と移り合うことを合同といいます）。固有値そのものはこの変換で変わってしまいますが、「正の固有値の個数」と「負の固有値の個数」は変わりません。理由は、正の固有値の個数が「その上で 2 次形式 $Q (x) = x^{T} A x$ が正定値になる部分空間の次元の最大値」と言い換えられるからです。実際、 $A$ を直交対角化すれば、正の固有値の固有ベクトルが張る空間では $Q > 0$ 、残りの固有ベクトルが張る空間では $Q \leq 0$ で、 $Q$ が正定値な部分空間は後者と $0$ でしか交わらないので、その次元は前者の次元以下です。この言い換えは基底によらない形をしているので、 $P^{T} A P$ でも同じ値になります（負の個数も同様）。この不変性をシルヴェスターの慣性法則と呼びます。

さらに、同じ結び目の別のザイフェルト曲面から得られる行列は、基底変換と、次の「拡大」（およびその逆）をくり返して移り合うことが知られています。拡大では $V$ （サイズ $m$ ）が
$V^{'} = V 00 ξ 00 010 (ξ は整数の列ベクトル)$
に（または $ξ$ が行ベクトルとして下に入る転置型に）変わり、対称行列は
$A^{'} = V^{'} + V^{' T} = A ξ^{T} 0 ξ 01 010$
になります。ここで基底を $e_{1}, \dots, e_{m}, f, g$ とし、 $e_{i}$ を $e_{i}^{'} = e_{i} - ξ_{i} g$ に取り替えると、 $Q (e_{i}^{'}, f) = ξ_{i} - ξ_{i} \cdot 1 = 0$ 、 $Q (e_{i}^{'}, g) = 0$ 、 $Q (e_{i}^{'}, e_{j}^{'}) = A_{ij}$ となるので、この基底変換で $A^{'}$ は $A \oplus (0110)$ （ブロック対角）に合同になります。後者の $2 \times 2$ ブロックの固有値は $\pm 1$ なので、慣性法則から正と負の個数はそれぞれ 1 つずつ増えるだけで、差は変わりません。だから差 $σ (K) = (正の固有値の個数) - (負の固有値の個数)$ は結び目の不変量になります。

固有値を正確に求めなくても、正負の個数さえわかればよいので、平方完成が便利です。 $Q (x) = x^{T} A x$ を $Q = p_{1} y_{1}^{2} + p_{2} y_{2}^{2} + \dots + p_{m} y_{m}^{2}$ （ $y_{k}$ は $x_{k}$ に $x_{k + 1}, \dots, x_{m}$ の 1 次式を加えたもので、 $x \mapsto y$ は可逆な変数変換）と書き直せば、これは $A$ を $P^{T} A P = diag (p_{1}, \dots, p_{m})$ と変形したことにあたり（ここでの $P$ は実数成分の可逆行列でよく、慣性法則は実数の可逆行列でも成り立ちます）、 $p_{k}$ の正負の個数を数えればよいのです。連結和 $K_{1} # K_{2}$ では $V$ が $V_{1}, V_{2}$ を対角に並べたものになるので、正負の個数がそれぞれ足され、 $σ (K_{1} # K_{2}) = σ (K_{1}) + σ (K_{2})$ となります。

手順

問題文のザイフェルト行列 $V$ から対称行列 $A = V + V^{T}$ を作る（連結和なら各成分の $A$ を対角に並べる）
$A$ が $2$ 次なら $det A$ と $tr A$ の符号から固有値の符号を判定する（ $det A < 0$ なら正負 1 つずつ、 $det A > 0$ なら $tr A$ と同じ符号が 2 つ）。 $3$ 次以上なら次の手順の平方完成を使う
$Q (x) = x^{T} A x$ を $x_{1}$ から順に平方完成し、 $Q = p_{1} y_{1}^{2} + \dots + p_{m} y_{m}^{2}$ の係数 $p_{k}$ を求める（ $x_{k}^{2}$ の係数が $0$ になったら、別の変数から始めるか $x_{k} \pm x_{l}$ の置き換えで回避する）
$σ (K) = # {k : p_{k} > 0} - # {k : p_{k} < 0}$ を計算する
問題文の規約（例: 正の三葉結び目が $- 2$ ）と符号が合っているかを確かめ、逆の規約なら符号を反転させる

例題

結び目 $K$ のザイフェルト行列が
$V = - 1 000 1 - 1 00 01 - 1 0 001 - 1$
で与えられている。符号数を $σ (K) = (V + V^{T} の正の固有値の個数) - (V + V^{T} の負の固有値の個数)$ で定める（この規約で、ザイフェルト行列 $(- 1 0 1 - 1)$ をもつ正の三葉結び目の符号数は $- 2$ である）。 $σ (K)$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $A = V + V^{T}$ は対角成分がすべて $- 2$ 、すぐ上とすぐ下の成分が $1$ 、残りが $0$ の $4$ 次対称行列。よって
$Q (x) = x^{T} A x = - 2 (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2}) + 2 (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{4}) .$

【手順 2】 $4$ 次なので平方完成を使う。

【手順 3】 $x_{1}$ を含む項をまとめる: $- 2 x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} = - 2 (x_{1} - \frac{1}{2} x_{2})^{2} + \frac{1}{2} x_{2}^{2}$ 。 $x_{2}^{2}$ の係数は $- 2 + \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}$ 。
次に $- \frac{3}{2} x_{2}^{2} + 2 x_{2} x_{3} = - \frac{3}{2} (x_{2} - \frac{2}{3} x_{3})^{2} + \frac{2}{3} x_{3}^{2}$ 。 $x_{3}^{2}$ の係数は $- 2 + \frac{2}{3} = - \frac{4}{3}$ 。
次に $- \frac{4}{3} x_{3}^{2} + 2 x_{3} x_{4} = - \frac{4}{3} (x_{3} - \frac{3}{4} x_{4})^{2} + \frac{3}{4} x_{4}^{2}$ 。 $x_{4}^{2}$ の係数は $- 2 + \frac{3}{4} = - \frac{5}{4}$ 。
よって
$Q = - 2 y_{1}^{2} - \frac{3}{2} y_{2}^{2} - \frac{4}{3} y_{3}^{2} - \frac{5}{4} y_{4}^{2}$
（ $y_{1} = x_{1} - \frac{1}{2} x_{2}$ 、 $y_{2} = x_{2} - \frac{2}{3} x_{3}$ 、 $y_{3} = x_{3} - \frac{3}{4} x_{4}$ 、 $y_{4} = x_{4}$ で、この変数変換は可逆）。

【手順 4】係数は 4 つとも負なので $σ (K) = 0 - 4 = - 4$ 。

【手順 5】規約の確認: 同じ規約で正の三葉結び目は $A = (- 2 1 1 - 2)$ （ $det A = 3 > 0$ 、 $tr A = - 4 < 0$ で負の固有値 2 つ）から $- 2$ となり、問題文と合う。この $V$ は正の交点 5 個の $T (2, 5)$ のものと同じ形で、符号数 $- 4$ は妥当である。

答え: $- 4$

よくある誤り

$V + V^{T}$ ではなく $V$ そのものの固有値で符号を数えてしまう誤り。 $V$ は対称とは限らず、たとえば三葉結び目の $V = (- 1 0 1 - 1)$ は固有値 $- 1$ の重根しかもたず対角化もできない。正しくは対称行列 $V + V^{T} = (- 2 1 1 - 2)$ （固有値 $- 1, - 3$ ）で数える
正と負の固有値の個数の和（ $= V + V^{T}$ の階数）や差の絶対値を符号数としてしまう誤り。正しくは符号付きの差で、正の三葉結び目では $0 - 2 = - 2$ （ $2$ ではない）。鏡像をとると $V + V^{T}$ が $- (V + V^{T})$ と合同なものに変わり、符号数は $+ 2$ になる
平方完成の途中で $x_{k}^{2}$ の係数が $0$ になったのに、その係数で割ろうとしてしまう誤り。たとえば $Q = 2 x_{1} x_{2}$ は $x_{1}^{2}$ の項がない。正しくは $x_{1} = u + v$ 、 $x_{2} = u - v$ と置いて $Q = 2 u^{2} - 2 v^{2}$ とし、正負 1 つずつ（符号数 $0$ ）と数える
連結和の符号数を積や最大値で求めてしまう誤り。 $V + V^{T}$ が各成分のブロックを対角に並べたものになるので、正しくは和 $σ (K_{1} # K_{2}) = σ (K_{1}) + σ (K_{2})$ 。たとえば正の三葉結び目 2 つの連結和は $- 2 + (- 2) = - 4$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$S^{3}$ 内の向き付けられた結び目 $K$ が、種数 $1$ の連結で向き付け可能なザイフェルト曲面 $F$ の境界になっており、 $H_{1} (F; Z) ≅ Z^{2}$ のある基底に関するザイフェルト行列が
$V = (- 2 0 1 - 1)$
であるとする。 $K$ の符号数 $σ (K)$ を、実対称行列 $V + V^{T}$ の正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いた値（重複度を込めて数える）と定める。 $σ (K)$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

トーラス結び目の符号数（格子点の数え上げ）（大学院数学結び目理論）