トーラス結び目の符号数（格子点の数え上げ）

出発点。 認めてよい事実として、$T(p,q)$（$p,q\ge 2$, $\gcd (p,q)=1$）のザイフェルト行列 $V$ は、$p$ 点のザイフェルト行列 $V_p$ と $q$ 点のザイフェルト行列 $V_q$ のテンソル積（クロネッカー積、下で定義）$W=V_p\otimes V_q$ と同値です。つまり整数を成分とする正則行列 $Q$ で $V=Q^{T}WQ$ と書けます。ここで $V_n$ は対角成分が $1$、すぐ右上の $(m,m+1)$ 成分が $-1$、ほかが $0$ の $(n-1)\times (n-1)$ 行列です。ただし結び目の向きの規約によっては $-W$ になるので、最後に $T(2,3)$ で符号を合わせます。$V+V^T=Q^T(W+W^T)Q$ なので符号数は $W+W^T$ で計算してよく、さらに実対称行列はエルミート行列でもあって固有値は同じなので、複素数の正則行列 $P$ による取り替え $P^{\ast }(W+W^T)P$ を使っても符号数は変わりません（シルベスターの慣性法則の複素版）。

クロネッカー積。 $a\times a$ 行列 $A$ と $b\times b$ 行列 $B$ のクロネッカー積 $A\otimes B$ とは、行と列の番号を組 $(\alpha ,\beta )$（$1\le \alpha \le a$, $1\le \beta \le b$）で付けた $ab\times ab$ 行列で、$((\alpha ,\beta ),({\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime }))$ 成分が $A_{\alpha {\alpha }^{\prime }}{B}_{\beta {\beta }^{\prime }}$ のものです。長方形の行列でも同じように定め、特にベクトル $u\in {\mathbb{C}}^a$, $v\in {\mathbb{C}}^b$ に対して $u\otimes v$ は $(\alpha ,\beta )$ 成分が $u_{\alpha }{v}_{\beta }$ の列ベクトルです。成分を比べると次がわかります。
- 混合積の性質 $(A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD$：左辺の成分は ${\sum }_{{\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime }}{A}_{\alpha {\alpha }^{\prime }}{B}_{\beta {\beta }^{\prime }}{C}_{{\alpha }^{\prime }{\alpha }^{\prime \prime }}{D}_{{\beta }^{\prime }{\beta }^{\prime \prime }}=\left({\sum }_{{\alpha }^{\prime }}{A}_{\alpha {\alpha }^{\prime }}{C}_{{\alpha }^{\prime }{\alpha }^{\prime \prime }}\right)\left({\sum }_{{\beta }^{\prime }}{B}_{\beta {\beta }^{\prime }}{D}_{{\beta }^{\prime }{\beta }^{\prime \prime }}\right)=(AC{)}_{\alpha {\alpha }^{\prime \prime }}(BD{)}_{\beta {\beta }^{\prime \prime }}$
- $(u\otimes v{)}^{\ast }=u^{\ast }\otimes v^{\ast }$：成分が $\overline{u_{\alpha }{v}_{\beta }}=\overline{u_{\alpha }}\overline{v_{\beta }}$ だから

この 2 つを続けて使い、$1\times 1$ 行列どうしのクロネッカー積はただの積であることに注意すると
$$(u\otimes v{)}^{\ast }(A\otimes B)(u^{\prime }\otimes v^{\prime })=(u^{\ast }A{u}^{\prime })(v^{\ast }B{v}^{\prime }).$$

$V_n$ を複素ベクトルで対角化する。 $\zeta =e^{2\pi i/n}$ とし、$1\le k\le n-1$ に対して $w={\zeta }^{-k}$ とおきます（$w\ne 1$, $w^n=1$, $|w|=1$）。ベクトル $u_k\in {\mathbb{C}}^{n-1}$ の第 $m$ 成分を $(u_k{)}_m=1-w^m$（$1\le m\le n-1$）とし、同じ式で $(u_k{)}_0=1-w^0=0$, $(u_k{)}_n=1-w^n=0$ とも定めておきます。$V_n$ の形から $(V_{n}x{)}_m=x_m-x_{m+1}$, $(V_n^{T}x{)}_m=x_m-x_{m-1}$（ただし $x_0=x_n=0$ とする）です。$u_k$ の第 $0$, 第 $n$ 成分は実際に $0$ なので、端の $m=1$, $m=n-1$ でもこの式がそのまま使えて
$$(V_n{u}_k{)}_m=(1-w^m)-(1-w^{m+1})=w^m(w-1),(V_n^T{u}_k{)}_m=(1-w^m)-(1-w^{m-1})=w^{m-1}(1-w).$$
よって $(V_n^T{u}_k{)}_m=-w^{-1}(V_n{u}_k{)}_m$ がすべての $m$ で成り立ち、$w^{-1}={\zeta }^k$ より $V_n^T{u}_k=-{\zeta }^k{V}_n{u}_k$ です。

直交性。 $k\ne l$ とし、$a=u_k^{\ast }{V}_n{u}_l$, $b=u_l^{\ast }{V}_n{u}_k$ とおきます。$V_n$ は実行列なので $V_n^T=V_n^{\ast }$ で、$u_k^{\ast }{V}_n^T{u}_l=(u_l^{\ast }{V}_n{u}_k{)}^{\ast }=\overline{b}$。一方、上の関係式から $u_k^{\ast }{V}_n^T{u}_l=-{\zeta }^l{u}_k^{\ast }{V}_n{u}_l=-{\zeta }^{l}a$。したがって $\overline{b}=-{\zeta }^{l}a$。$k$ と $l$ を入れ替えた同じ計算で $\overline{a}=-{\zeta }^{k}b$ となり、共役をとると $a=-{\zeta }^{-k}\overline{b}$。ここに $\overline{b}=-{\zeta }^{l}a$ を代入すると
$$a={\zeta }^{l-k}a.$$
$1\le k,l\le n-1$, $k\ne l$ より $0<|l-k|<n$ なので ${\zeta }^{l-k}\ne 1$、よって $a=0$。同様に $b=0$ です。

対角成分 $c_k$。 $|w|=1$ より $\overline{w^m}{w}^m=1$ なので
$$c_k=u_k^{\ast }{V}_n{u}_k=\sum _{m=1}^{n-1}\overline{(1-w^m)}{w}^m(w-1)=(w-1)\sum _{m=1}^{n-1}(w^m-\overline{w^m}{w}^m)=(w-1)\sum _{m=1}^{n-1}(w^m-1).$$
$w\ne 1$, $w^n=1$ より ${\sum }_{m=0}^{n-1}{w}^m=\frac{w^n-1}{w-1}=0$、つまり ${\sum }_{m=1}^{n-1}{w}^m=-1$ です。よって ${\sum }_{m=1}^{n-1}(w^m-1)=-1-(n-1)=-n$ で
$$c_k=-n(w-1)=n(1-e^{-2\pi ik/n}).$$
$\theta =\frac{2\pi k}{n}\in (0,2\pi )$ とおくと $1-e^{-i\theta }=e^{-i\theta /2}(e^{i\theta /2}-e^{-i\theta /2})=2\sin \frac{\theta }{2}\cdot e^{i(\frac{\pi }{2}-\frac{\theta }{2})}$ で、$\sin \frac{\theta }{2}>0$ です。したがって $c_k\ne 0$ で、$c_k$ の偏角は $\frac{\pi }{2}-\frac{\pi k}{n}$ です。

一次独立性と $P$ の正則性。 ${\sum }_l{\alpha }_l{u}_l=0$ とすると、左から $u_k^{\ast }{V}_n$ を掛けて直交性を使えば ${\alpha }_k{c}_k=0$、$c_k\ne 0$ より ${\alpha }_k=0$。よって $u_1,\dots ,u_{n-1}$ は一次独立です。$q$ 側でも同じように $v_1,\dots ,v_{q-1}$ を作り、$d_j=v_j^{\ast }{V}_q{v}_j$ とおきます。クロネッカー積の式から
$$(u_i\otimes v_j{)}^{\ast }W(u_{i^{\prime }}\otimes v_{j^{\prime }})=(u_i^{\ast }{V}_p{u}_{i^{\prime }})(v_j^{\ast }{V}_q{v}_{j^{\prime }})=\{\begin{array}{ll}{c}_i{d}_j& (i,j)=(i^{\prime },j^{\prime })\\ 0& \text{それ以外}\end{array}$$
で、$c_i{d}_j\ne 0$ なので同じ論法で $(p-1)(q-1)$ 本のベクトル $u_i\otimes v_j$ は一次独立です。これらを列に並べた $(p-1)(q-1)$ 次の正方行列 $P$ は正則で、$P^{\ast }WP=\mathrm{diag}(c_i{d}_j)$ となります。

符号の判定。 $W$ は実行列なので $W^T=W^{\ast }$ で、$P^{\ast }{W}^{T}P=(P^{\ast }WP{)}^{\ast }=\mathrm{diag}(\overline{c_i{d}_j})$。よって
$$P^{\ast }(W+W^T)P=\mathrm{diag}(2\mathrm{Re}(c_i{d}_j)).$$
$c_i{d}_j$ の偏角は $(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi i}{p})+(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi j}{q})=\pi (1-s)$（$s=\frac{i}{p}+\frac{j}{q}$, $0<s<2$）なので、$-1<1-s<1$ に注意すると $\mathrm{Re}(c_i{d}_j)>0⟺\cos \pi (1-s)>0⟺|1-s|<\frac{1}{2}⟺\frac{1}{2}<s<\frac{3}{2}$ です。複素版の慣性法則より、$W+W^T$ の符号数は（内側の点の個数）$-$（外側の点の個数）です。

境界上の点はない。 $s=\frac{1}{2}$ となる格子点があると対角成分が $0$ になりますが、そのような点はありません。$s=\frac{1}{2}$ は $iq+jp=\frac{pq}{2}$ と同値です。$pq$ が奇数なら右辺が整数でないので解はありません。$p$ が偶数のとき（$\gcd (p,q)=1$ より $q$ は奇数）、右辺は $\frac{p}{2}\cdot q$ なので $p$ を法として $iq\equiv \frac{p}{2}q$、$q$ は $p$ を法として逆元をもつので $i\equiv \frac{p}{2}(\mathrm{mod}p)$、$1\le i\le p-1$ より $i=\frac{p}{2}$。すると $jp=\frac{pq}{2}-\frac{p}{2}q=0$ で $j=0$ となり、範囲 $1\le j\le q-1$ の外です。$s=\frac{3}{2}$（$iq+jp=\frac{3p}{2}q$）も同様に $i\equiv \frac{3p}{2}\equiv \frac{p}{2}(\mathrm{mod}p)$ から $i=\frac{p}{2}$、$jp=\frac{3pq}{2}-\frac{pq}{2}=pq$ で $j=q$ となり範囲外です。$q$ が偶数の場合は $p$ と $q$ の役割を入れ替えれば同じで、$p,q$ がともに偶数になることはありません。

規約に合わせる。 $T(2,3)$ では格子点 $(1,1),(1,2)$ の $s=\frac{5}{6},\frac{7}{6}$ がともに内側で、$W+W^T$ の符号数は $+2$ です。正の三葉結び目を $-2$ とする規約ではザイフェルト形式が $-W$ に同値な向きを使っていることになるので、符号を反転して $\sigma (T(p,q))=N_{\text{外}}-N_{\text{内}}$ となります。