結び目理論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学結び目理論

$K = T (5, 6)$ を正の（右手系の） $(5, 6)$ トーラス結び目とする。結び目の種数 $g (K)$ は $S^{3}$ 内で $K$ を境界とする向き付け可能な連結曲面の種数の最小値とし、符号数 $σ (K)$ は $K$ の Seifert 行列 $V$ に対する対称行列 $V + V^{T}$ の符号数（正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）とする。ただし、この規約で正の三葉結び目 $T (2, 3)$ の符号数は $- 2$ となるように向きを取る。

$g (K)$ と $σ (K)$ をこの順に組 $(g (K), σ (K))$ で求めよ。

この問題で使うもの

この問題を解けるようになるまで（71 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$T (5, 6)$ をブレイド $(σ_{1} σ_{2} σ_{3} σ_{4})^{6}$ の閉包として表し、種数は Seifert のアルゴリズムと正のブレイドの性質で求める。符号数はトーラス結び目の Seifert 形式の対角化（Brieskorn の公式）を使う。

ヒント 2

種数は $χ = n - c$ から求まり、Bennequin の不等式で最小性がわかる。符号数は、 $1 \leq i \leq 4$ , $1 \leq j \leq 5$ について $\frac{i}{5} + \frac{j}{6}$ が開区間 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ に入るものを $- 1$ 、入らないものを $+ 1$ として足し合わせる。

ヒント 3

$χ = 5 - 24 = - 19$ 。 $\frac{i}{5} + \frac{j}{6} = \frac{6 i + 5 j}{30}$ なので、 $15 < 6 i + 5 j < 45$ となる $(i, j)$ を数えればよい。 $i = 1$ と $i = 4$ の行に範囲外のものが 1 つずつある。

答えと解説

答えを見る

(10, - 16)

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

種数. $T (5, 6)$ はブレイド $β = (σ_{1} σ_{2} σ_{3} σ_{4})^{6} \in B_{5}$ の閉包である。閉ブレイド図式に Seifert のアルゴリズムを使うと、Seifert 円は $n = 5$ 個、帯は交差の数 $c = 4 \cdot 6 = 24$ 本なので、得られる曲面 $F$ のオイラー標数は $χ (F) = 5 - 24 = - 19$ 。境界は 1 成分なので $g (F) = \frac{1 - χ ( F )}{2} = 10$ 。

$β$ は正のブレイドなので、Bennequin の不等式 $w - n \leq 2 g (K) - 1$ （ $w = 24$ はワイズ）から $19 \leq 2 g (K) - 1$ 、すなわち $g (K) \geq 10$ 。よって
$g (K) = 10 = \frac{( 5 - 1 ) ( 6 - 1 )}{2} .$
（ $T (p, q)$ は $z^{p} + w^{q} = 0$ のリンクとしてファイバー結び目であり、ファイバーであるミルナー・ファイバーが種数 $\frac{( p - 1 ) ( q - 1 )}{2}$ の最小種数曲面になる、と見てもよい。）

符号数. $T (p, q)$ のファイバー曲面の $H_{1}$ は階数 $(p - 1) (q - 1)$ で、Brieskorn の計算により、 $V + V^{T}$ は（複素数体上で） $1 \leq i \leq p - 1$ , $1 \leq j \leq q - 1$ の組 $(i, j)$ で番号付けられた基底について対角化され、その対角成分の符号は
$\frac{1}{2} < \frac{i}{p} + \frac{j}{q} < \frac{3}{2} のとき負, \frac{i}{p} + \frac{j}{q} < \frac{1}{2} または \frac{i}{p} + \frac{j}{q} > \frac{3}{2} のとき正$
となる（ $p, q$ が互いに素なので $\frac{i}{p} + \frac{j}{q} = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$ は起こらない）。問題の規約（ $σ (T (2, 3)) = - 2$ ）と合っていることは、 $T (2, 3)$ で $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ , $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6}$ がともに $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ に入り $σ = - 2$ となることで確かめられる。

$p = 5$ , $q = 6$ では $\frac{i}{5} + \frac{j}{6} = \frac{6 i + 5 j}{30}$ なので、 $15 < 6 i + 5 j < 45$ となる組の個数を数える（ $1 \leq i \leq 4$ , $1 \leq j \leq 5$ ）。
- $i = 1$ : $6 i + 5 j = 11, 16, 21, 26, 31$ 。範囲内は $4$ 個（ $11$ は範囲外）
- $i = 2$ : $17, 22, 27, 32, 37$ 。範囲内は $5$ 個
- $i = 3$ : $23, 28, 33, 38, 43$ 。範囲内は $5$ 個
- $i = 4$ : $29, 34, 39, 44, 49$ 。範囲内は $4$ 個（ $49$ は範囲外）

範囲内（負の対角成分）は $4 + 5 + 5 + 4 = 18$ 個、範囲外（正の対角成分）は $20 - 18 = 2$ 個。よって
$σ (K) = 2 - 18 = - 16.$

（検算: $∣ σ (K) ∣ \leq 2 g (K)$ すなわち $16 \leq 20$ を満たす。）

以上より $(g (K), σ (K)) = (10, - 16)$ 。

別解

種数: $T (p, q)$ の種数は $g = \frac{( p - 1 ) ( q - 1 )}{2}$ 。 $T (5, 6)$ では $g = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10$ 。

符号数: Gordon–Litherland–Murasugi の公式を用いる。 $1 \leq i \leq p - 1 = 4$ 、 $1 \leq j \leq q - 1 = 5$ の組 $(i, j)$ について $s = \frac{i}{5} + \frac{j}{6} = \frac{6 i + 5 j}{30}$ を考え、 $\frac{1}{2} < s < \frac{3}{2}$ （分子が $15$ より大きく $45$ より小さい）なら $- 1$ 、そうでなければ（ $s < \frac{1}{2}$ または $s > \frac{3}{2}$ ） $+ 1$ を数え上げ、その和が $σ$ （この規約では正のトーラス結び目で負）。

$i = 1$ : 分子 $11, 16, 21, 26, 31$ 。 $11$ だけ範囲外。範囲内 4 個、外 1 個。
$i = 2$ : 分子 $17, 22, 27, 32, 37$ 。すべて範囲内（5 個）。
$i = 3$ : 分子 $23, 28, 33, 38, 43$ 。すべて範囲内（5 個）。
$i = 4$ : 分子 $29, 34, 39, 44, 49$ 。 $49$ だけ範囲外。範囲内 4 個、外 1 個。

範囲内は計 $18$ 個、範囲外は計 $2$ 個なので $σ = 2 - 18 = - 16$ 。

規約の確認: 三葉結び目 $T (2, 3)$ では $i = 1$ 、 $j = 1, 2$ で $s = \frac{5}{6}, \frac{7}{6}$ がともに範囲内となり $σ = - 2$ 、問題の規約と一致する。

検算: ランクは $2 g = 20$ で、符号数 $- 16$ は $∣ σ ∣ \leq 2 g$ を満たし偶数であり、既知の値 $σ (T (5, 6)) = - 16$ （絶対値 16）とも一致する。

よって $(g (K), σ (K)) = (10, - 16)$ 。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる