トーラス結び目のアレクサンダー多項式と種数

$T (p, q)$ （ $p, q$ は互いに素）について、 $Δ (t) = \frac{( t ^{pq} - 1 ) ( t - 1 )}{( t ^{p} - 1 ) ( t ^{q} - 1 )}$ を使ってアレクサンダー多項式とその次数を求められる。さらに、次数の下界とザイフェルトのアルゴリズムによる上界を合わせて、種数 $g (T (p, q)) = \frac{( p - 1 ) ( q - 1 )}{2}$ を求められる（例: $g (T (5, 6)) = 10$ ）

前提

トーラス絡み目とそのブレイド表示（大学院数学結び目理論）
結び目の種数とザイフェルトのアルゴリズム（大学院数学結び目理論）

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算数中学高校大学大学院

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結び目の種数とザイフェルトのアルゴリズム（大学院数学結び目理論）

説明

互いに素な $p, q$ に対するトーラス結び目 $T (p, q)$ のアレクサンダー多項式は、ザイフェルト行列を書かなくても $Δ (t) = \frac{( t ^{pq} - 1 ) ( t - 1 )}{( t ^{p} - 1 ) ( t ^{q} - 1 )}$ という閉じた式で求まります。その次数（span）は $(p - 1) (q - 1)$ なので種数の下界 $g \geq \frac{( p - 1 ) ( q - 1 )}{2}$ が得られます。ブレイド表示 $(σ_{1} \dots σ_{p - 1})^{q}$ からザイフェルトのアルゴリズムで作った曲面がちょうど同じ値を上界として与えるので、種数は $g (T (p, q)) = \frac{( p - 1 ) ( q - 1 )}{2}$ と決まります。種数や $Δ$ の次数についての条件を満たすトーラス結び目を探す問題で使います。

なぜそうしてよいのか

なぜこの式になるか。 $T (p, q)$ の補空間は、ある曲面 $F$ をファイバーとして円周上にファイバー束になっていることが知られています（正のブレイドの閉包なので、前提のスターリングスの定理からもわかります）。このときアレクサンダー多項式は、 $F$ を一周させて戻ってくる写像（モノドロミー）が $H_{1} (F)$ に引き起こす線形写像の特性多項式になります。 $T (p, q)$ のファイバーは「 $p$ 点と $q$ 点を、すべての組について線分で結んだグラフ」に変形でき、モノドロミーは $p$ 点を 1 つずつ巡回させ、同時に $q$ 点も 1 つずつ巡回させる写像です。 $p$ 点の巡回の固有値は 1 の $p$ 乗根 $ζ$ 、 $q$ 点の巡回の固有値は 1 の $q$ 乗根 $ξ$ で、 $H_{1}$ にはこのうち $ζ \neq = 1$ かつ $ξ \neq = 1$ の積 $ζ ξ$ だけが残ります（階数は $(p - 1) (q - 1)$ ）。 $g cd (p, q) = 1$ なので、こうした積 $ζ ξ$ は「1 の $pq$ 乗根のうち、 $p$ 乗根でも $q$ 乗根でもないもの」をちょうど 1 回ずつ尽くします。

一方、 $\frac{( t ^{pq} - 1 ) ( t - 1 )}{( t ^{p} - 1 ) ( t ^{q} - 1 )}$ の根を数えると、分子は 1 の $pq$ 乗根すべてと $t = 1$ をもちます。分母は 1 の $p$ 乗根すべてと $q$ 乗根すべてをもち、両者の共通の根は $g cd (p, q) = 1$ より $t = 1$ だけです。打ち消し合うと、残る根は「 $pq$ 乗根で $p$ 乗根でも $q$ 乗根でもないもの」で、それぞれ 1 重です。したがってこの式は多項式で、上の特性多項式と一致します。次数は $pq + 1 - (p + q) = (p - 1) (q - 1)$ 、 $t = 1$ での値は、分子・分母がともに $t = 1$ の近くで $pq (t - 1)^{2}$ のようにふるまうことから $1$ です。たとえば $T (2, 3)$ では $\frac{( t ^{6} - 1 ) ( t - 1 )}{( t ^{2} - 1 ) ( t ^{3} - 1 )} = t^{2} - t + 1$ となり、ザイフェルト行列から求めた三葉結び目の多項式と一致します。

種数が決まる理由。 下界は $2 g \geq span Δ = (p - 1) (q - 1)$ です。上界は、 $p$ 本の紐のブレイド $(σ_{1} \dots σ_{p - 1})^{q}$ の交点数 $c = q (p - 1)$ を使い、ザイフェルトのアルゴリズムで得られる曲面の種数 $\frac{c - p + 1}{2} = \frac{pq - q - p + 1}{2} = \frac{( p - 1 ) ( q - 1 )}{2}$ です。上界と下界が一致するので、種数はこの値に決まります。

手順

$g cd (p, q) = 1$ と $p, q \geq 2$ を確かめる（負の $q$ は鏡像なので $∣ p ∣, ∣ q ∣$ で考えてよい。 $p$ か $q$ が $1$ なら自明結び目）。
$Δ (t) = \frac{t ^{pq} - 1}{t ^{p} - 1} \cdot \frac{t - 1}{t ^{q} - 1} = \frac{1 + t ^{p} + t ^{2 p} + \dots + t ^{(q - 1) p}}{1 + t + \dots + t ^{q - 1}}$ と書き、割り算や因数分解で多項式にする。
次数（最高次と最低次の差） $span Δ = (p - 1) (q - 1)$ を読み取り、下界 $g \geq \frac{( p - 1 ) ( q - 1 )}{2}$ を得る。
ブレイド $(σ_{1} \dots σ_{p - 1})^{q}$ （紐 $n = p$ 本、交点 $c = q (p - 1)$ 個）にザイフェルトのアルゴリズムを使い、上界 $g \leq \frac{c - n + 1}{2} = \frac{( p - 1 ) ( q - 1 )}{2}$ を得る。
上界と下界が一致するので $g (T (p, q)) = \frac{( p - 1 ) ( q - 1 )}{2}$ と結論する。

例題

トーラス結び目 $T (3, 4)$ について、公式 $Δ (t) = \frac{( t ^{pq} - 1 ) ( t - 1 )}{( t ^{p} - 1 ) ( t ^{q} - 1 )}$ でアレクサンダー多項式を計算してその次数から種数の下界を求め、ザイフェルトのアルゴリズムによる上界と合わせて、 $T (3, 4)$ の種数 $g (T (3, 4))$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: $g cd (3, 4) = 1$ で、 $3, 4 \geq 2$ なので $T (3, 4)$ は非自明な結び目である。

手順 2:
$Δ (t) = \frac{t ^{12} - 1}{t ^{4} - 1} \cdot \frac{t - 1}{t ^{3} - 1} = \frac{t ^{8} + t ^{4} + 1}{t ^{2} + t + 1} .$
ここで $t^{8} + t^{4} + 1 = (t^{4} + t^{2} + 1) (t^{4} - t^{2} + 1)$ 、 $t^{4} + t^{2} + 1 = (t^{2} + t + 1) (t^{2} - t + 1)$ なので
$Δ (t) = (t^{2} - t + 1) (t^{4} - t^{2} + 1) = t^{6} - t^{5} + t^{3} - t + 1.$

手順 3: 最高次が $6$ 、最低次が $0$ なので $span Δ = 6 = (3 - 1) (4 - 1)$ 。よって $2 g \geq 6$ 、すなわち $g \geq 3$ 。

手順 4: $T (3, 4)$ は 3 本の紐のブレイド $(σ_{1} σ_{2})^{4}$ の閉包で、交点数は $c = 4 \cdot 2 = 8$ 、紐の本数は $n = 3$ 。ザイフェルトのアルゴリズムで得られる曲面の種数は $\frac{8 - 3 + 1}{2} = 3$ なので $g \leq 3$ 。

手順 5: 以上から $g (T (3, 4)) = 3$ 。

答え: $3$

よくある誤り

$g cd (p, q) \neq = 1$ のときにも公式を使ってしまう誤り。このとき $T (p, q)$ は結び目ではなく $g cd (p, q)$ 成分の絡み目で、公式は使えない。たとえば $T (2, 4)$ に当てはめると $\frac{( t ^{8} - 1 ) ( t - 1 )}{( t ^{2} - 1 ) ( t ^{4} - 1 )} = \frac{t ^{4} + 1}{t + 1}$ となり、多項式にさえならない。
種数をアレクサンダー多項式の次数そのものとしてしまう誤り。正しくは $2 g = span Δ$ なので半分にする。 $T (3, 4)$ では次数 $6$ に対して $g = 3$ であり、 $g = 6$ ではない。
上界の計算で交点数を $pq$ としてしまう誤り。 $p$ 本の紐のブレイド $(σ_{1} \dots σ_{p - 1})^{q}$ の交点数は $c = q (p - 1)$ である。 $c = pq$ とすると $T (3, 4)$ で $\frac{12 - 3 + 1}{2} = 5$ となり誤る。正しくは $\frac{8 - 3 + 1}{2} = 3$ 。
次数を分子と分母の次数の差 $pq + 1 - (p + q)$ で数えるときに符号を誤り、 $pq - p - q$ や $pq - p - q - 1$ としてしまう誤り。正しくは $(pq + 1) - (p + q) = (p - 1) (q - 1)$ 。たとえば $T (5, 6)$ なら $span Δ = 20$ 、 $g = 10$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$T (3, 4)$ を $(3, 4)$ トーラス結び目とする。互いに素な $2$ 以上の整数 $p, q$ に対し、トーラス結び目 $T (p, q)$ のアレクサンダー多項式は、 $\pm t^{k}$ 倍（ $k$ は整数）の違いを除いて
$Δ_{T (p, q)} (t) = \frac{( t ^{pq} - 1 ) ( t - 1 )}{( t ^{p} - 1 ) ( t ^{q} - 1 )}$
で与えられることが知られている。 $Δ_{T (3, 4)} (t)$ を、定数項が $0$ でない $t$ の多項式で $Δ_{T (3, 4)} (1) = 1$ を満たすように正規化して求めよ。

トーラス結び目のアレクサンダー多項式と種数

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