結び目理論の問題

1. 種数. トーラス結び目 $T(p,q)$ はファイバー結び目で、ファイバー曲面（ミルナーファイバー）が最小種数のザイフェルト曲面になり
$$g(T(p,q))=\frac{(p-1)(q-1)}{2}$$
である（正のブレイドの閉包なので、ザイフェルトのアルゴリズムで得られる曲面が最小種数であることからも分かる: 交点数 $c=2q$、紐の数 $n=3$ で $g=(c-n+1)/2=q-1$）。よって $g(T(3,q))=q-1$。

2. 符号数. トーラス結び目の符号数は次の公式（Brieskorn–Hirzebruch, Litherland）で求まる: $1\le i\le p-1$, $1\le j\le q-1$ の整数の組 $(i,j)$ のうち
$$\frac{1}{2}<\frac{i}{p}+\frac{j}{q}<\frac{3}{2}$$
を満たすものの個数を $N_{\mathrm{in}}$、満たさないものの個数を $N_{\mathrm{out}}$ とすると（$p,q$ が互いに素なので等号になる組はない）
$$\sigma (T(p,q))=-(N_{\mathrm{in}}-N_{\mathrm{out}})$$
（全体の符号は流儀によるが、ここでは絶対値しか使わない）。例えば $T(2,3)$ では $(1,1),(1,2)$ がともに条件を満たし $|\sigma |=2$ となって正しい。

$p=3$ のとき、組の総数は $2(q-1)$ である。
- $i=1$: $\frac{1}{6}<\frac{j}{q}<\frac{7}{6}$。右側は $j\le q-1$ で常に成立するので、条件は $j>\frac{q}{6}$。$3\nmid q$ より $\frac{q}{6}$ は整数でないから、個数は $(q-1)-\lfloor q/6\rfloor$。
- $i=2$: $-\frac{1}{6}<\frac{j}{q}<\frac{5}{6}$。条件は $j<\frac{5q}{6}$ で、$\frac{5q}{6}$ は整数でないから個数は $\lfloor 5q/6\rfloor$（$\le q-1$）。

よって $N_{\mathrm{in}}=q-1-\lfloor q/6\rfloor +\lfloor 5q/6\rfloor$, $N_{\mathrm{out}}=2(q-1)-N_{\mathrm{in}}$ で
$$\frac{|\sigma (T(3,q))|}{2}=N_{\mathrm{in}}-(q-1)=\lfloor \frac{5q}{6}\rfloor -\lfloor \frac{q}{6}\rfloor .$$
（検算: $q=2$ で $1$、$q=4$ で $3$、$q=5$ で $4$ となり、$|\sigma (3_1)|=2$, $|\sigma (8_{19})|=6$, $|\sigma (10_{124})|=8$ と一致する。）

3. 差の計算. $q=6k+r$（$k\ge 0$, $r\in \{1,2,4,5\}$）と書くと $\lfloor q/6\rfloor =k$, $\lfloor 5q/6\rfloor =5k+\lfloor 5r/6\rfloor$ で、$\lfloor 5r/6\rfloor =0,1,3,4$（$r=1,2,4,5$）。したがって
$$g-\frac{|\sigma |}{2}=(6k+r-1)-\left(4k+\lfloor \frac{5r}{6}\rfloor \right)=2k+\left(r-1-\lfloor \frac{5r}{6}\rfloor \right)=2k$$
（$r=1,2,4,5$ のいずれでも括弧内は $0$）。すなわち
$$g(T(3,q))-\frac{|\sigma (T(3,q))|}{2}=2\lfloor \frac{q}{6}\rfloor .$$

4. 結論. これが $4$ になるのは $\lfloor q/6\rfloor =2$、つまり $12\le q\le 17$ のとき。このうち $3$ と互いに素なのは $q=13,14,16,17$。（例: $q=13$ で $g=12$, $|\sigma |/2=10-2=8$。）

答えは $\{13,14,16,17\}$。

種数. $T(3,q)$ は正ブレイドの閉包なので、種数は標準的なザイフェルト曲面の種数で $g=\frac{(3-1)(q-1)}{2}=q-1$。

符号数. $T(3,q)$ の符号数の絶対値は、$q$ を 6 で割った余りで場合分けして次のようになる(ギオーギの公式、またはゲルシュタイン・カッサーの計算による既知の値)。
- $q=6k+1$: $|\sigma |=8k$
- $q=6k+2$: $|\sigma |=8k+2$
- $q=6k+4$: $|\sigma |=8k+6$
- $q=6k+5$: $|\sigma |=8k+8$

(3 と互いに素な $q$ は 6 で割った余りが $1,2,4,5$ のいずれか。確認: $T(3,2)$(三葉結び目)$|\sigma |=2$、$T(3,4)=8_{19}$ は $6$、$T(3,5)=10_{124}$ は $8$、$T(3,7)$ は $8$、$T(3,8)$ は $10$ で、いずれも既知の値と一致。)

条件の解. $g-\frac{|\sigma |}{2}=4$:
- $q=6k+1$: $6k-4k=2k=4$ より $k=2$、$q=13$。
- $q=6k+2$: $(6k+1)-(4k+1)=2k=4$ より $k=2$、$q=14$。
- $q=6k+4$: $(6k+3)-(4k+3)=2k=4$ より $k=2$、$q=16$。
- $q=6k+5$: $(6k+4)-(4k+4)=2k=4$ より $k=2$、$q=17$。

検算:
- $q=13$: $g=12$、$|\sigma |=16$、$12-8=4$。
- $q=14$: $g=13$、$|\sigma |=18$、$13-9=4$。
- $q=16$: $g=15$、$|\sigma |=22$、$15-11=4$。
- $q=17$: $g=16$、$|\sigma |=24$、$16-12=4$。

よって $q\in \{13,14,16,17\}$。