結び目理論の問題

トーラス結び目のジョーンズ多項式. 問題文の規約のもとで、正のトーラス結び目 $T(p,q)$ のジョーンズ多項式は（Jones の公式）
$$V_{T(p,q)}(t)=t^m\frac{1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^2},m=\frac{(p-1)(q-1)}{2}$$
である。例えば $(p,q)=(2,3)$ では $t\frac{1-t^3-t^4+t^5}{1-t^2}=t+t^3-t^4$ となり、右手系の三葉結び目のジョーンズ多項式と一致する。

$t=e^x$ と置いて展開する. $v(x)=V_K(e^x)$ とおくと
$$v^{\prime }(x)=e^x{V}_K^{\prime }(e^x),v^{\prime \prime }(x)=e^x{V}_K^{\prime }(e^x)+e^{2x}{V}_K^{\prime \prime }(e^x)$$
より $v^{\prime }(0)=V_K^{\prime }(1)$, $v^{\prime \prime }(0)=V_K^{\prime }(1)+V_K^{\prime \prime }(1)$ である。そこで $v(x)$ を $x$ の $2$ 次まで展開する。

$1-e^{ax}=-2e^{ax/2}\sinh \frac{ax}{2}$ を使う。分子は
$$1-e^{(p+1)x}-e^{(q+1)x}+e^{(p+q)x}=\left(1-e^{(p+1)x}\right)\left(1-e^{(q+1)x}\right)-e^{(p+q)x}\left(e^{2x}-1\right)$$
と書けるので、$A=\frac{p+1}{2}$, $B=\frac{q+1}{2}$, $c=\frac{p+q}{2}$ とおくと
$$\frac{\left(1-e^{(p+1)x}\right)\left(1-e^{(q+1)x}\right)}{1-e^{2x}}=\frac{4e^{(A+B)x}\sinh (Ax)\sinh (Bx)}{-2e^x\sinh x}=-2e^{cx}\frac{\sinh (Ax)\sinh (Bx)}{\sinh x}$$
（$A+B-1=c$ を使った）。したがって
$$v(x)=e^{(m+c)x}\left(e^{cx}-\frac{2\sinh (Ax)\sinh (Bx)}{\sinh x}\right).$$
ここで $m+c=\frac{(p-1)(q-1)+p+q}{2}=\frac{pq+1}{2}$ なので、これを $k$ とおく。

$\sinh (Ax)\sinh (Bx)=AB{x}^2+O(x^4)$, $\frac{1}{\sinh x}=\frac{1}{x}\left(1+O(x^2)\right)$ より
$$\frac{2\sinh (Ax)\sinh (Bx)}{\sinh x}=2ABx+O(x^3).$$
$2AB=\frac{(p+1)(q+1)}{2}$ で、$c-2AB=\frac{p+q-(pq+p+q+1)}{2}=-\frac{pq+1}{2}=-k$ だから、括弧の中は
$$e^{cx}-2ABx+O(x^3)=1-kx+\frac{c^2}{2}{x}^2+O(x^3).$$
これに $e^{kx}=1+kx+\frac{k^2}{2}{x}^2+O(x^3)$ を掛けて
$$v(x)=1+(k-k)x+\left(\frac{k^2}{2}-k^2+\frac{c^2}{2}\right)x^2+O(x^3)=1+\frac{c^2-k^2}{2}{x}^2+O(x^3).$$
よって $v^{\prime }(0)=0$、$v^{\prime \prime }(0)=c^2-k^2$ である。

結論. $V_K^{\prime }(1)=v^{\prime }(0)=0$ なので $V_K^{\prime \prime }(1)=v^{\prime \prime }(0)=c^2-k^2$ であり、
$$c^2-k^2=\frac{(p+q{)}^2-(pq+1{)}^2}{4}=\frac{(p+q-pq-1)(p+q+pq+1)}{4}=-\frac{(p-1)(q-1)(p+1)(q+1)}{4}.$$
したがって
$$V_K^{\prime \prime }(1)=-\frac{(p^2-1)(q^2-1)}{4}.$$

検算. $T(2,3)$ では $V=t+t^3-t^4$, $V^{\prime \prime }(1)=6-12=-6$、公式は $-\frac{3\cdot 8}{4}=-6$。$T(3,4)$ では $V=t^3+t^5-t^8$, $V^{\prime \prime }(1)=6+20-56=-30$、公式は $-\frac{8\cdot 15}{4}=-30$。

（別解: 結び目について $V_K^{\prime \prime }(1)=-6a_2(K)$（$a_2$ はコンウェイ多項式の $z^2$ の係数）が成り立ち、$T(p,q)$ では $a_2=\frac{(p^2-1)(q^2-1)}{24}$ であることからも同じ答えが得られる。）

ジョーンズ多項式のスケイン関係式で $t=e^h$ とおいて $h$ のべきに展開し、コンウェイ多項式と比較する。$t^{-1}{V}_{+}-t{V}_{-}=(t^{1/2}-t^{-1/2})V_0$ に $t=e^h$ を代入し $V_L(e^h)={\sum }_k{v}_k(L)h^k$ と書く。

$h=0$ で $V_{+}=V_{-}$ より $V_L(1)=(-2{)}^{c-1}$（$c$ は成分数）。結び目では $V_K(1)=1$。

よく知られた結果（村上の定理）として、結び目 $K$ に対し $V_K^{\prime }(1)=0$、$V_K^{\prime \prime }(1)=-6a_2(K)$ が成り立つ。ここで $a_2(K)$ はコンウェイ多項式 ${\nabla }_K(z)=1+a_2{z}^2+\cdots$ の $z^2$ の係数である。

（確認）右手系三葉結び目 $T(2,3)$ では $V(t)=t+t^3-t^4$、$V^{\prime }(t)=1+3t^2-4t^3$ で $V^{\prime }(1)=0$、$V^{\prime \prime }(t)=6t-12t^2$ で $V^{\prime \prime }(1)=-6$。一方 $\nabla =1+z^2$ より $a_2=1$ で $-6a_2=-6$ と一致する。なお鏡像では $t\to t^{-1}$ となるが $V^{\prime }(1)=0$ なので $V^{\prime \prime }(1)$ は変わらず、向きや鏡像の取り方に依存しない。

トーラス結び目 $T(p,q)$ の $a_2$ は、アレクサンダー多項式 $\Delta (t)=\frac{(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^p-1)(t^q-1)}$ から求まる。$t=e^h$、$z^2=t-2+t^{-1}=4{\sinh }^2(h/2)=h^2+\cdots$ として $\Delta (e^h)$（$t^{-pq/2\cdot ...}$ の対称化込み）を展開すると
$$\frac{\sinh (pqh/2)\sinh (h/2)}{\sinh (ph/2)\sinh (qh/2)}=1+\frac{(p^2-1)(q^2-1)}{24}{h}^2+\cdots$$
となる（$\sinh x/x=1+x^2/6+\cdots$ を用いて $\frac{1}{24}(p^2{q}^2+1-p^2-q^2)h^2$）。$z^2=h^2+\cdots$ なので
$$a_2(T(p,q))=\frac{(p^2-1)(q^2-1)}{24}.$$
（$p=2,q=3$ で $3\cdot 8/24=1$ ✓。）

よって
$$V_K^{\prime \prime }(1)=-6\cdot \frac{(p^2-1)(q^2-1)}{24}=-\frac{(p^2-1)(q^2-1)}{4}.$$

検算: $T(2,5)$ では $V=t^2+t^4-t^5+t^6-t^7$、$V^{\prime \prime }(1)=2+12-20+30-42=-18$。公式は $-(3)(24)/4=-18$ ✓。