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結び目理論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学結び目理論

$T (2, 5)$ を正の（右手系の） $(2, 5)$ トーラス結び目とする。互いに素な $2$ 以上の整数 $p, q$ に対し、正のトーラス結び目 $T (p, q)$ のジョーンズ多項式（スケイン関係式 $t^{- 1} V_{L_{+}} - t V_{L_{-}} = (t^{1/2} - t^{- 1/2}) V_{L_{0}}$ と自明な結び目 $O$ に対する $V_{O} (t) = 1$ で定めたもの）は
$V_{T (p, q)} (t) = t^{(p - 1) (q - 1) /2} \frac{1 - t ^{p + 1} - t ^{q + 1} + t ^{p + q}}{1 - t ^{2}}$
で与えられることが知られている。 $t = 1 + h$ とおいて $V_{T (2, 5)} (1 + h)$ を $h$ について展開することにより、 $t = 1$ における $2$ 階微分係数 $V_{T (2, 5)}^{''} (1)$ を求めよ。

この問題で使うもの

トーラス結び目のジョーンズ多項式の t=1 での展開（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（81 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

トーラス結び目のジョーンズ多項式の公式に $p = 2, q = 5$ を代入し、 $t = 1 + h$ とおいて $h$ について展開する。 $t = 1$ で分子・分母がともに $0$ になることに注意する。

ヒント 2

二項定理で分子 $1 - (1 + h)^{3} - (1 + h)^{6} + (1 + h)^{7}$ を $h^{3}$ の項まで、分母 $1 - (1 + h)^{2}$ を展開し、共通の因子 $h$ を約分する。 $V (1 + h)$ の $h^{2}$ の係数が $\frac{V ^{''} ( 1 )}{2}$ である。

ヒント 3

分子は $- 2 h + 3 h^{2} + 14 h^{3} + \dots$ 、分母は $- 2 h - h^{2}$ となり、商は $1 - 2 h - 6 h^{2} + \dots$ になる。これに $(1 + h)^{2}$ を掛ける。

答えと解説

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解説を読む

$p = 2, q = 5$ を代入すると $(p - 1) (q - 1) /2 = 2$ なので
$V (t) = t^{2} \frac{1 - t ^{3} - t ^{6} + t ^{7}}{1 - t ^{2}}$
である。 $t = 1$ では分子も分母も $0$ になる（ $0/0$ の形）ので、 $t = 1 + h$ とおいて $h$ について展開し、打ち消し合う $h$ を約分する。

分子の展開. 二項定理 $(1 + h)^{n} = 1 + nh + (2 n) h^{2} + (3 n) h^{3} + \dots$ を使う。 $V (1 + h)$ を $h^{2}$ の項まで求めたいので、分子は $h^{3}$ の項まで必要である。
- 定数項: $1 - 1 - 1 + 1 = 0$
- $h$ の係数: $- 3 - 6 + 7 = - 2$
- $h^{2}$ の係数: $- (2 3) - (2 6) + (2 7) = - 3 - 15 + 21 = 3$
- $h^{3}$ の係数: $- (3 3) - (3 6) + (3 7) = - 1 - 20 + 35 = 14$

よって分子 $= - 2 h + 3 h^{2} + 14 h^{3} + O (h^{4})$ 。

分母の展開. $1 - (1 + h)^{2} = - 2 h - h^{2}$ 。

約分. 分子・分母を $- 2 h$ で割ると
$\frac{1 - t ^{3} - t ^{6} + t ^{7}}{1 - t ^{2}} = \frac{1 - \frac{3}{2} h - 7 h ^{2} + O ( h ^{3} )}{1 + \frac{1}{2} h} .$
$\frac{1}{1 + \frac{1}{2} h} = 1 - \frac{1}{2} h + \frac{1}{4} h^{2} + O (h^{3})$ を掛けると
$(1 - \frac{3}{2} h - 7 h^{2}) (1 - \frac{1}{2} h + \frac{1}{4} h^{2}) = 1 + (- \frac{3}{2} - \frac{1}{2}) h + (- 7 + \frac{3}{4} + \frac{1}{4}) h^{2} + O (h^{3}) = 1 - 2 h - 6 h^{2} + O (h^{3}) .$

前の因子を掛ける. $t^{2} = (1 + h)^{2} = 1 + 2 h + h^{2}$ なので
$V (1 + h) = (1 + 2 h + h^{2}) (1 - 2 h - 6 h^{2}) + O (h^{3}) = 1 + (2 - 2) h + (1 - 4 - 6) h^{2} + O (h^{3}) = 1 + 0 \cdot h - 9 h^{2} + O (h^{3}) .$

テイラー展開 $V (1 + h) = V (1) + V^{'} (1) h + \frac{V ^{''} ( 1 )}{2} h^{2} + \dots$ と係数を比べると、 $V (1) = 1$ 、 $V^{'} (1) = 0$ であり
$\frac{V ^{''} ( 1 )}{2} = - 9 より V^{''} (1) = - 18.$

（確認: $V (1) = 1, V^{'} (1) = 0$ は結び目の一般的な性質と一致する。また $T (2, 5)$ のコンウェイ多項式は $\nabla (z) = z^{4} + 3 z^{2} + 1$ で $a_{2} = 3$ であり、 $V^{''} (1) = - 6 a_{2} = - 18$ とも一致する。実際に約分すると $V (t) = t^{2} + t^{4} - t^{5} + t^{6} - t^{7}$ で、これを $2$ 回微分して $t = 1$ を代入しても $2 + 12 - 20 + 30 - 42 = - 18$ となる。）

別解

$p = 2, q = 5$ なので $(p - 1) (q - 1) /2 = 2$ 、分子は $1 - t^{3} - t^{6} + t^{7}$ 。よって $V (t) = t^{2} \frac{1 - t ^{3} - t ^{6} + t ^{7}}{1 - t ^{2}}$ 。
多項式として割る。 $(t^{2} + t^{4} - t^{5} + t^{6} - t^{7}) (1 - t^{2}) = t^{2} + t^{4} - t^{5} + t^{6} - t^{7} - t^{4} - t^{6} + t^{7} - t^{8} + t^{9} = t^{2} - t^{5} - t^{8} + t^{9} = t^{2} (1 - t^{3} - t^{6} + t^{7})$ となるので
$V_{T (2, 5)} (t) = t^{2} + t^{4} - t^{5} + t^{6} - t^{7} .$
検算: $V (1) = 1 + 1 - 1 + 1 - 1 = 1$ （結び目では $V (1) = 1$ ）。
$V^{''} (t) = 2 + 12 t^{2} - 20 t^{3} + 30 t^{4} - 42 t^{5}$ なので $V^{''} (1) = 2 + 12 - 20 + 30 - 42 = - 18$ 。
別法（ $t = 1 + h$ 展開）: $V (1 + h) = 1 + V^{'} (1) h + \frac{1}{2} V^{''} (1) h^{2} + \dots$ で、 $V^{'} (1) = 2 + 4 - 5 + 6 - 7 = 0$ （これも結び目で $V^{'} (1) = 0$ となる性質と一致）、 $\frac{1}{2} V^{''} (1) = - 9$ 。つまり $V (1 + h) = 1 - 9 h^{2} + \dots$ で $V^{''} (1) = - 18$ 。

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