結び目理論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学結び目理論

$T (3, 4)$ を $(3, 4)$ トーラス結び目とする。互いに素な $2$ 以上の整数 $p, q$ に対し、トーラス結び目 $T (p, q)$ のアレクサンダー多項式は、 $\pm t^{k}$ 倍（ $k$ は整数）の違いを除いて
$Δ_{T (p, q)} (t) = \frac{( t ^{pq} - 1 ) ( t - 1 )}{( t ^{p} - 1 ) ( t ^{q} - 1 )}$
で与えられることが知られている。 $Δ_{T (3, 4)} (t)$ を、定数項が $0$ でない $t$ の多項式で $Δ_{T (3, 4)} (1) = 1$ を満たすように正規化して求めよ。

この問題で使うもの

トーラス結び目のアレクサンダー多項式と種数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（45 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

トーラス結び目のアレクサンダー多項式の公式 $Δ (t) = \frac{( t ^{pq} - 1 ) ( t - 1 )}{( t ^{p} - 1 ) ( t ^{q} - 1 )}$ に $p = 3, q = 4$ を代入して計算する。

ヒント 2

$t^{12} - 1 = (t^{4} - 1) (t^{8} + t^{4} + 1)$ 、 $t^{3} - 1 = (t - 1) (t^{2} + t + 1)$ を使って約分する。

ヒント 3

$Δ (t) = \frac{t ^{8} + t ^{4} + 1}{t ^{2} + t + 1}$ となる。分子を $(t^{4} + 1)^{2} - t^{4}$ と見て因数分解し、もう一度約分する。

答えと解説

答えを見る

t^{6} - t^{5} + t^{3} - t + 1

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

公式に $p = 3, q = 4$ を代入すると $pq = 12$ なので
$Δ_{T (3, 4)} (t) = \frac{( t ^{12} - 1 ) ( t - 1 )}{( t ^{3} - 1 ) ( t ^{4} - 1 )}$
となる。

まず分子と分母を組み合わせて割り算する。 $t^{12} - 1 = (t^{4} - 1) (t^{8} + t^{4} + 1)$ であり、 $t^{3} - 1 = (t - 1) (t^{2} + t + 1)$ であるから
$Δ_{T (3, 4)} (t) = \frac{t ^{8} + t ^{4} + 1}{t ^{2} + t + 1} .$

次に分子を因数分解する。 $t^{8} + t^{4} + 1 = (t^{4} + 1)^{2} - t^{4} = (t^{4} + t^{2} + 1) (t^{4} - t^{2} + 1)$ であり、さらに $t^{4} + t^{2} + 1 = (t^{2} + 1)^{2} - t^{2} = (t^{2} + t + 1) (t^{2} - t + 1)$ である。よって
$Δ_{T (3, 4)} (t) = (t^{2} - t + 1) (t^{4} - t^{2} + 1) .$

展開すると
$(t^{2} - t + 1) (t^{4} - t^{2} + 1) = t^{6} - t^{4} + t^{2} - t^{5} + t^{3} - t + t^{4} - t^{2} + 1 = t^{6} - t^{5} + t^{3} - t + 1.$

この多項式の定数項は $1 \neq = 0$ であり、 $t = 1$ を代入すると $1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1$ なので、求める正規化を満たしている（ $\pm t^{k}$ 倍のうち、定数項が $0$ でない多項式になるのは $k = 0$ のときだけで、さらに $Δ (1) = 1$ から符号は $+$ に決まる）。

したがって $Δ_{T (3, 4)} (t) = t^{6} - t^{5} + t^{3} - t + 1$ である。なお次数は $6 = pq - p - q + 1 = (p - 1) (q - 1)$ で、種数 $g (T (3, 4)) = \frac{( 3 - 1 ) ( 4 - 1 )}{2} = 3$ と整合している。

別解

$p = 3, q = 4$ とすると $Δ (t) = \frac{( t ^{12} - 1 ) ( t - 1 )}{( t ^{3} - 1 ) ( t ^{4} - 1 )}$ 。 $\frac{t ^{12} - 1}{t ^{3} - 1} = t^{9} + t^{6} + t^{3} + 1$ 、 $\frac{t ^{4} - 1}{t - 1} = t^{3} + t^{2} + t + 1$ なので $Δ (t) = \frac{t ^{9} + t ^{6} + t ^{3} + 1}{t ^{3} + t ^{2} + t + 1}$ 。割り算を実行する。 $(t^{3} + t^{2} + t + 1) (t^{6} - t^{5} + t^{3} - t + 1)$ を展開すると、 $t^{9} - t^{8} + t^{6} - t^{4} + t^{3} + t^{8} - t^{7} + t^{5} - t^{3} + t^{2} + t^{7} - t^{6} + t^{4} - t^{2} + t + t^{6} - t^{5} + t^{3} - t + 1 = t^{9} + t^{6} + t^{3} + 1$ となり一致する。よって $Δ (t) = t^{6} - t^{5} + t^{3} - t + 1$ 。定数項は $1 \neq = 0$ 、 $Δ (1) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1$ で正規化の条件を満たす（次数 $(p - 1) (q - 1) = 6$ とも一致し、対称性 $t^{6} Δ (1/ t) = Δ (t)$ も確認できる）。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる