結び目理論の問題

$T(2,5)$ を正の（右手系の）$(2,5)$ トーラス結び目とする。互いに素な $2$ 以上の整数 $p,q$ に対し、正のトーラス結び目 $T(p,q)$ のジョーンズ多項式（スケイン関係式 $t^{-1}{V}_{L_{+}}-t{V}_{L_{-}}=(t^{1/2}-t^{-1/2})V_{L_0}$ と自明な結び目 $O$ に対する $V_O(t)=1$ で定めたもの）は
$$V_{T(p,q)}(t)=t^{(p-1)(q-1)/2}\frac{1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^2}$$
で与えられることが知られている。$t=1+h$ とおいて $V_{T(2,5)}(1+h)$ を $h$ について展開することにより、$t=1$ における $2$ 階微分係数 $V_{T(2,5)}^{\prime \prime }(1)$ を求めよ。

$T(3,4)$ を $(3,4)$ トーラス結び目とする。互いに素な $2$ 以上の整数 $p,q$ に対し、トーラス結び目 $T(p,q)$ のアレクサンダー多項式は、$\pm t^k$ 倍（$k$ は整数）の違いを除いて
$${\Delta }_{T(p,q)}(t)=\frac{(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^p-1)(t^q-1)}$$
で与えられることが知られている。${\Delta }_{T(3,4)}(t)$ を、定数項が $0$ でない $t$ の多項式で ${\Delta }_{T(3,4)}(1)=1$ を満たすように正規化して求めよ。

互いに素な整数 $p,q$ で $2\le p<q$ を満たすものに対し、$T(p,q)$ を $(p,q)$ トーラス結び目とする。次の 2 つの事実を用いてよい。

• 自明でないトーラス結び目は、鏡像と向きの違いを同一視すると、上の条件を満たす組 $(p,q)$ によってちょうど 1 通りに $T(p,q)$ と表される。異なる組は異なる結び目を与える。
• (村杉) 交点数について $c(T(p,q))=\min \{p(q-1),q(p-1)\}$ が成り立つ。

鏡像と向きの違いを同一視するとき、交点数 $c(K)$ が $24$ 以下である自明でないトーラス結び目 $K$ の個数を求めよ。

$p,q,r$ を奇数とし、$P(p,q,r)$ をプレッツェル結び目とする（$p,q,r$ がすべて奇数なので $P(p,q,r)$ は結び目である）。$P(p,q,r)$ には標準的な種数 $1$ のザイフェルト曲面 $F$ があり、$H_1(F;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^2$ のある基底に関するザイフェルト行列は
$$V_{p,q,r}=-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}p+q& q+1\\ q-1& q+r\end{array}\right)$$
で与えられるものとする（この規約では $P(1,1,1)$ は正の三葉結び目で、符号数は $-2$ となる）。結び目 $K$ の符号数 $\sigma (K)$ は、$K$ の任意のザイフェルト行列 $V$ に対する対称行列 $V+V^T$ の符号数（正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）と定める。これはザイフェルト曲面と基底の選び方によらない。

奇数 $r$ に対して $K_r=P(-3,5,r)$ とおく。$-49\le r\le 49$ を満たすすべての奇数 $r$ にわたる和
$$\sum _{\begin{array}{c}-49\le r\le 49\\ r:\text{odd}\end{array}}\sigma (K_r)$$
を求めよ。

互いに素な整数 $p,q$ で $2\le p<q$ を満たすものに対し、$T(p,q)$ を $(p,q)$ トーラス結び目とする（$p<q$ と定めたので、各トーラス結び目はちょうど 1 つの組 $(p,q)$ で表される）。結び目 $K$ の交点数 $c(K)$ を、$K$ のすべての図式における交点の個数の最小値とする。

$c(T(p,q))\le 20$ を満たす組 $(p,q)$ の個数を求めよ。