結び目理論の問題

互いに素な整数 $p,q$ で $2\le p<q$ を満たすものに対し、$T(p,q)$ を $(p,q)$ トーラス結び目とする（$p<q$ と定めたので、各トーラス結び目はちょうど 1 つの組 $(p,q)$ で表される）。結び目 $K$ の交点数 $c(K)$ を、$K$ のすべての図式における交点の個数の最小値とする。

$c(T(p,q))\le 20$ を満たす組 $(p,q)$ の個数を求めよ。

$T(3,7)$ を正の（右手系の）$(3,7)$ トーラス結び目とする。符号数は、正の三葉結び目 $T(2,3)$ の符号数が $-2$ となる規約で定める。

互いに素な $2$ 以上の整数 $p,q$ に対し、$1\le i\le p-1$, $1\le j\le q-1$ を満たす整数の組 $(i,j)$ のうち
$$\frac{1}{2}<\frac{i}{p}+\frac{j}{q}<\frac{3}{2}$$
を満たすものの個数を $N_{\mathrm{in}}$、満たさないものの個数を $N_{\mathrm{out}}$ とすると、この規約のもとで
$$\sigma (T(p,q))=N_{\mathrm{out}}-N_{\mathrm{in}}$$
が成り立つことが知られている。これを用いて、符号数 $\sigma (T(3,7))$ を求めよ。

$T(3,4)$ を $(3,4)$ トーラス結び目とする。互いに素な $2$ 以上の整数 $p,q$ に対し、トーラス結び目 $T(p,q)$ のアレクサンダー多項式は、$\pm t^k$ 倍（$k$ は整数）の違いを除いて
$${\Delta }_{T(p,q)}(t)=\frac{(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^p-1)(t^q-1)}$$
で与えられることが知られている。${\Delta }_{T(3,4)}(t)$ を、定数項が $0$ でない $t$ の多項式で ${\Delta }_{T(3,4)}(1)=1$ を満たすように正規化して求めよ。

8 の字結び目 $4_1$ の交点数 4 の図式 $D$ は 4 本の弧 $x_1,x_2,x_3,x_4$ と 4 つの交点 $c_1,c_2,c_3,c_4$ をもち、各交点で上を通る弧と、その交点で分断される 2 本の下の弧は次のとおりである。

• $c_1$: 上の弧 $x_1$、下の弧 $x_2,x_3$
• $c_2$: 上の弧 $x_2$、下の弧 $x_3,x_4$
• $c_3$: 上の弧 $x_3$、下の弧 $x_4,x_1$
• $c_4$: 上の弧 $x_4$、下の弧 $x_1,x_2$

$D$ のフォックス 5 彩色とは、各弧 $x_i$ に $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ の元（同じ記号 $x_i$ で表す）を割り当てる方法であって、どの交点でも、上の弧の元を $a$、下の 2 本の弧の元を $b,c$ とするとき $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}5)$ が成り立つものをいう。すべての弧に同じ元を割り当てる自明な彩色も数えるとき、$D$ のフォックス 5 彩色の個数 ${\mathrm{col}}_5(4_1)$ を求めよ。

8 の字結び目 $K=4_1$ のあるザイフェルト曲面（種数 $1$）について、$H_1$ の基底から読み取ったザイフェルト行列が
$$V=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$$
であるとする。2 以上の整数 $n$ に対し、${\mathrm{col}}_n(K)$ を $K$ の図式のフォックス $n$ 彩色（各弧に $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の元を割り当て、各交点で上を通る弧の元 $a$ と下の 2 本の弧の元 $b,c$ が $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}n)$ を満たすもの）の個数とする。ただし、すべての弧に同じ元を割り当てる自明な彩色も数える。

$V+V^T$ のスミス標準形の不変因子 $d_1,d_2$ を用いた公式 ${\mathrm{col}}_n(K)=n{\prod }_i\gcd (d_i,n)$ を使って、${\mathrm{col}}_{10}(K)$ を求めよ。