結び目理論の問題

互いに素な整数 $p,q$ で $2\le p<q$ を満たすものに対し、$T(p,q)$ を $(p,q)$ トーラス結び目とする。次の 2 つの事実を用いてよい。

• 自明でないトーラス結び目は、鏡像と向きの違いを同一視すると、上の条件を満たす組 $(p,q)$ によってちょうど 1 通りに $T(p,q)$ と表される。異なる組は異なる結び目を与える。
• (村杉) 交点数について $c(T(p,q))=\min \{p(q-1),q(p-1)\}$ が成り立つ。

鏡像と向きの違いを同一視するとき、交点数 $c(K)$ が $24$ 以下である自明でないトーラス結び目 $K$ の個数を求めよ。

プレッツェル結び目 $P(3,3,3)$（Rolfsen の表の $9_{35}$）を $K$ とする。$K$ の図式のフォックス 3 彩色（各弧に $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ の元を割り当て、各交点で上を通る弧の色を $x$、下を通る 2 本の弧の色を $y,z$ とするとき $2x\equiv y+z(\mathrm{mod}3)$ を満たすもの）の個数を求めよ。ただし、すべての弧に同じ色を割り当てる自明な彩色も 1 個と数える。

結び目 $K$ を、三葉結び目 $3_1$ 2 つと 8 の字結び目 $4_1$ 1 つの連結和 $K=3_1\#3_1\#4_1$ とする（連結和の結果は向きや選び方によらず、以下の量は $K$ のみで決まる）。

$K$ の行列式を $\det (K)=|{\Delta }_K(-1)|$（${\Delta }_K(t)$ はアレクサンダー多項式）で定める。また、$K$ のある図式の各弧に $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ の元を割り当てる方法で、各交点において上を通る弧の色 $a$ と下を通る 2 本の弧の色 $b,c$ が $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}3)$ を満たすものを $K$ の Fox 3 彩色とよび、その個数を ${\mathrm{col}}_3(K)$ とする（すべての弧が同じ色の 3 個の自明な彩色も数に含める。この個数は図式の選び方によらない）。

組 $(\det (K),{\mathrm{col}}_3(K))$ をこの順に求めよ。

Rolfsen の表の結び目 $K=7_4$ を考える。$K$ のアレクサンダー多項式は（${\Delta }_K(t)={\Delta }_K(t^{-1})$ となるように正規化して）
$${\Delta }_K(t)=4t-7+4t^{-1}$$
である。結び目の行列式を $\det (K)=|{\Delta }_K(-1)|$ で定める。

2 以上の整数 $n$ に対し、$K$ の図式のフォックス $n$ 彩色とは、図式の各弧に $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の元を割り当てて、各交点で上を通る弧の色を $a$、下を通る 2 本の弧の色を $b,c$ とするとき $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}n)$ が成り立つようにしたものとする。すべての弧が同じ色である彩色を自明な彩色と呼ぶ。

$2\le n\le 30$ を満たす整数 $n$ のうち、$K$ が自明でないフォックス $n$ 彩色をもつようなものの個数を求めよ。ただし、自明でない $n$ 彩色が存在するかどうかは図式の選び方によらないことを用いてよい。

$p,q,r$ を奇数とし、$P(p,q,r)$ をプレッツェル結び目とする（$p,q,r$ がすべて奇数なので $P(p,q,r)$ は結び目である）。$P(p,q,r)$ には標準的な種数 $1$ のザイフェルト曲面 $F$ があり、$H_1(F;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^2$ のある基底に関するザイフェルト行列は
$$V_{p,q,r}=-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}p+q& q+1\\ q-1& q+r\end{array}\right)$$
で与えられるものとする（この規約では $P(1,1,1)$ は正の三葉結び目で、符号数は $-2$ となる）。結び目 $K$ の符号数 $\sigma (K)$ は、$K$ の任意のザイフェルト行列 $V$ に対する対称行列 $V+V^T$ の符号数（正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）と定める。これはザイフェルト曲面と基底の選び方によらない。

奇数 $r$ に対して $K_r=P(-3,5,r)$ とおく。$-49\le r\le 49$ を満たすすべての奇数 $r$ にわたる和
$$\sum _{\begin{array}{c}-49\le r\le 49\\ r:\text{odd}\end{array}}\sigma (K_r)$$
を求めよ。