結び目理論の問題

1. ブレイドに沿った色の伝わり方. ブレイドの各段で、位置 $1,2,3$ にある紐の色を $(x_1,x_2,x_3)$ と書く。上を通る紐の色は変わらず、下を通る紐の色は交点で $c=2a-b$（$a$ は上の色、$b$ は入ってくる色）に変わる。

- ${\sigma }_1$: 位置 1 の紐（色 $x_1$）が上を通って位置 2 へ、位置 2 の紐（色 $x_2$）が下をくぐって位置 1 へ移り色 $2x_1-x_2$ になるので
$$(x_1,x_2,x_3)\mapsto (2x_1-x_2,x_1,x_3).$$
- ${\sigma }_2^{-1}$: 位置 3 の紐（色 $x_3$）が上を通って位置 2 へ、位置 2 の紐が下をくぐって位置 3 へ移り色 $2x_3-x_2$ になるので
$$(x_1,x_2,x_3)\mapsto (x_1,x_3,2x_3-x_2).$$

合成すると、${\sigma }_1{\sigma }_2^{-1}$ 1 回分の写像 $P$ は
$$P(x_1,x_2,x_3)=(2x_1-x_2,x_3,2x_3-x_1).$$
閉包の彩色は、始点の色 $x\in (\mathbb{Z}/n{)}^3$ で $P^{4}x=x$ を満たすものと 1 対 1 に対応する（閉包では終点と始点の同じ位置がつながり、各弧の色は始点の色から一意に決まる）。

2. 座標の取り替え. $u=x_1-x_3,v=x_2-x_3$ とおくと、$P$ による変化は
$$u^{\prime }=(2x_1-x_2)-(2x_3-x_1)=3u-v,v^{\prime }=x_3-(2x_3-x_1)=u,x_3^{\prime }=x_3-u.$$
すなわち $w=(u,v{)}^T$ は $R=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ で $w\mapsto Rw$ と変わり、$x_3$ は $u$ の分だけずれる。

$P^{4}x=x$ は「$R^{4}w=w$」かつ「${\sum }_{j=0}^3(R^{j}w\text{ の第 1 成分})=0$」と同値である。$s={\sum }_{j=0}^3{R}^{j}w$ とおくと $(R-I)s=R^{4}w-w=0$ であり、$\det (R-I)=\det \left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& -1\end{array}\right)=-1$ は $\mathbb{Z}/n$ の単元なので $s=0$。よって第 2 の条件は自動的に成り立ち、$x_3$ は自由に選べる。したがって
$$\#{\mathrm{Col}}_n(K)=n\cdot \#\{w\in (\mathbb{Z}/n{)}^2:(R^4-I)w=0\}.$$

3. $R^4-I$ の計算.
$$R^2=\left(\begin{array}{cc}8& -3\\ 3& -1\end{array}\right),R^4=(R^2{)}^2=\left(\begin{array}{cc}55& -21\\ 21& -8\end{array}\right),R^4-I=\left(\begin{array}{cc}54& -21\\ 21& -9\end{array}\right).$$
$\det (R^4-I)=54\cdot (-9)+21^2=-486+441=-45$ なので、$K$ の行列式は $45$。成分の最大公約数は $\gcd (54,21,9)=3$ だから、スミス標準形は $\mathrm{diag}(3,15)$ である。すなわち彩色の加群（二重分岐被覆の $H_1$）は $\mathbb{Z}/3\oplus \mathbb{Z}/15$ で、巡回群ではない。

4. 個数. スミス標準形から $\#{\ker }_{\mathbb{Z}/n}(R^4-I)=\gcd (n,3)\cdot \gcd (n,15)$。$n=15$ では $3\cdot 15=45$。

直接の確認: $\mathrm{mod}15$ で $R^4-I\equiv \left(\begin{array}{cc}9& 9\\ 6& 6\end{array}\right)$ なので、条件は $9(u+v)\equiv 0$ かつ $6(u+v)\equiv 0(\mathrm{mod}15)$、すなわち $u+v\equiv 0(\mathrm{mod}5)$。$u$ は $15$ 通り、そのそれぞれに $v$ は $3$ 通りで、$45$ 個の解がある。

よって
$$\#{\mathrm{Col}}_{15}(K)=15\times 45=675.$$

（注意: 行列式 $45$ だけから「彩色の加群が $\mathbb{Z}/45$」と考えると $15\cdot \gcd (15,45)=225$ となり誤りである。）

彩色の伝播. ブレイドの上端の 3 本の紐の色を $x=(x_1,x_2,x_3)\in (\mathbb{Z}/15{)}^3$ とする。${\sigma }_i$ では位置 $i$ の紐が上を通って位置 $i+1$ へ移り(色は $x_i$ のまま)、位置 $i+1$ の紐が下を通って位置 $i$ へ移る(新しい色は $2x_i-x_{i+1}$)。${\sigma }_i^{-1}$ では位置 $i+1$ の紐が上を通って位置 $i$ へ移り(色 $x_{i+1}$)、位置 $i$ の紐が下を通って位置 $i+1$ へ移る(新しい色は $2x_{i+1}-x_i$)。

閉ブレイドの彩色は、下端の色が上端の色と一致する(閉じる)ものなので、ブレイド全体の作用を $M_{\beta }$ として $M_{\beta }x=x$ の解の個数が、フォックス彩色の個数である。

${\sigma }_1{\sigma }_2^{-1}$ の作用. $(x_1,x_2,x_3)\stackrel{{\sigma }_1}{\to }(2x_1-x_2,x_1,x_3)\stackrel{{\sigma }_2^{-1}}{\to }(2x_1-x_2,x_3,2x_3-x_1)$。
$$M=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 0& 0& 1\\ -1& 0& 2\end{array}\right).$$
$$M^2=\left(\begin{array}{ccc}4& -2& -1\\ -1& 0& 2\\ -4& 1& 4\end{array}\right),M^4=(M^2{)}^2=\left(\begin{array}{ccc}22& -9& -12\\ -12& 4& 9\\ -33& 12& 22\end{array}\right).$$

方程式 $(M^4-I)x=0$.
$$M^4-I=\left(\begin{array}{ccc}21& -9& -12\\ -12& 3& 9\\ -33& 12& 21\end{array}\right)=3N^{\prime },N^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}7& -3& -4\\ -4& 1& 3\\ -11& 4& 7\end{array}\right).$$
$\det N^{\prime }=7(7-12)+3(-28+33)-4(-16+11)=-35+15+20=0$。成分の gcd は $1$、$2\times 2$ 小行列式はすべて $\pm 5$(例: $7\cdot 1-(-3)(-4)=-5$、$(-3)(3)-(-4)(1)=-5$)で gcd は $5$。したがって $N^{\prime }$ のスミス標準形は $\mathrm{diag}(1,5,0)$、$M^4-I$ は $\mathrm{diag}(3,15,0)$ と同値。

(係数行列の余核の捩れ部分は $\mathbb{Z}/3\oplus \mathbb{Z}/15$ で、位数 $45=\det (8_{18})$ と一致。)

個数. 同値な座標 $y$ で $3y_1\equiv 0$、$15y_2\equiv 0$、$0\cdot y_3\equiv 0(\mathrm{mod}15)$ を数える。
- $3y_1\equiv 0(\mathrm{mod}15)$ は $y_1\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ で、$y_1\in \mathbb{Z}/15$ に 3 個。
- $15y_2\equiv 0$ はつねに成り立ち 15 個。
- $y_3$ は自由で 15 個。

合計 $3\times 15\times 15=675$。

検算: 一般に結び目のフォックス $n$ 彩色の個数は $n\cdot |\mathrm{Hom}(H_1({\Sigma }_2),\mathbb{Z}/n)|=15\cdot |\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/3\oplus \mathbb{Z}/15,\mathbb{Z}/15)|=15\cdot (3\cdot 15)=675$ で一致。また $(1,1,1)$ は自明な彩色として解になる($M(1,1,1{)}^T=(1,1,1{)}^T$)。