結び目理論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル証明問題大学院数学結び目理論

$p$ を素数とし、 $K$ を結び目、 $D$ を $K$ の交点を $n$ 個（ $n \geq 1$ ）もつ図式とする。 $D$ の弧とは、 $D$ を各交点で下を通る部分で切って得られる、図式の連続な部分のことをいう。 $n \geq 1$ のとき $D$ の弧はちょうど $n$ 個あることは用いてよい。弧を $a_{1}, \dots, a_{n}$ 、交点を $c_{1}, \dots, c_{n}$ とする。写像 $x : {a_{1}, \dots, a_{n}} \to Z / p Z$ が $D$ の $p$ 彩色であるとは、各交点 $c_{k}$ で、上を通る弧を $a_{i}$ 、交点で切れて下を通る $2$ 本の弧を $a_{j}, a_{l}$ （ $j = l$ や $i \in {j, l}$ となる場合も含む）とするとき
$2 x (a_{i}) - x (a_{j}) - x (a_{l}) = 0 (in Z / p Z)$
が成り立つことをいう。 $n \times n$ 整数行列 $M$ を、第 $k$ 行が交点 $c_{k}$ のこの式の係数を並べたもの（第 $m$ 列が弧 $a_{m}$ の係数で、同じ弧が式に複数回現れるときは係数を足し合わせる）として定め、 $D$ の彩色行列とよぶ。

次の事実は用いてよい: $M$ から任意に $1$ つの行と $1$ つの列を除いた $(n - 1) \times (n - 1)$ 小行列の行列式の絶対値は、行・列の選び方と図式 $D$ の選び方によらず、 $K$ の行列式 $det (K)$ に等しい（ $n = 1$ のときは $0 \times 0$ 行列の行列式を $1$ と約束する）。

$p$ が $det (K)$ を割り切らないならば、 $D$ の $p$ 彩色は、すべての弧に同じ色を塗る $p$ 個の定値彩色に限ること（したがって $p$ 彩色はちょうど $p$ 個であること）を証明せよ。

この問題で使うもの

フォックス n 彩色（説明と入口の問題）
行列の階数と解の存在（説明と入口の問題）
核と像と次元定理（説明と入口の問題）
行列式（説明と入口の問題）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（47 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$p$ 彩色の全体を、彩色行列を $p$ を法として還元した行列の核（ $F_{p}$ 上のベクトル空間）として捉え、その次元が $1$ であることを示す。

ヒント 2

彩色行列の各行の成分の和は $0$ になる。また、 $(n - 1)$ 次小行列式が $p$ で割り切れないことから $F_{p}$ 上の階数について何がいえるか。

ヒント 3

定値ベクトル $(1, \dots, 1)^{T}$ が核に入るので核の次元は $1$ 以上である。次に、第 $n$ 行・第 $n$ 列を除いた小行列の行列式を $p$ を法として考え、 $F_{p}$ 上で正則であることを示す。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$p$ 彩色の全体が、彩色行列を $p$ を法として還元した行列の $F_{p}$ 上の核と一致することを述べている（2 点）
各行の成分の和が $0$ であることから定値彩色が彩色であり、核の次元が $1$ 以上であることを示している（2 点）
$(n - 1)$ 次小行列式が $\pm det (K)$ で $p$ で割り切れないことから、還元と行列式の両立性を使って、還元した行列の階数が $n - 1$ 以上であることを示している（4 点）
次元定理から核の次元が $1$ となり、彩色が定値彩色の $p$ 個だけであると結論している（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

$F_{p} = Z / p Z$ とおく。 $p$ は素数なので $F_{p}$ は体である。 $M$ の成分を $p$ を法として還元した行列を $M \in M_{n} (F_{p})$ と書く。写像 $x$ を列ベクトル $x = (x (a_{1}), \dots, x (a_{n}))^{T} \in F_{p}^{n}$ と同一視すると、 $M$ の定め方から、交点 $c_{k}$ での条件は $M x$ の第 $k$ 成分が $0$ であることにほかならない。よって $p$ 彩色の定義は $M x = 0$ と同値であり、 $p$ 彩色の全体は $M$ の核 $ker M$ と一致する。これは $F_{p}^{n}$ の部分空間である。

(1) 定値彩色は彩色である. 各行の成分の和を調べる。交点 $c_{k}$ の行は、 $a_{i}$ の列に $+ 2$ 、 $a_{j}$ の列に $- 1$ 、 $a_{l}$ の列に $- 1$ を（添字が一致する場合はその列に足し合わせて）並べたものなので、成分の和は $2 - 1 - 1 = 0$ である。よって $1 = (1, \dots, 1)^{T}$ について $M 1 = 0$ であり、 $M 1 = 0$ である。 $1 \neq = 0$ なので $dim_{F_{p}} ker M \geq 1$ である。また $ker M \supset {t 1 ∣ t \in F_{p}}$ であり、右辺は $t$ ごとに異なる $p$ 個の定値彩色からなる。

(2) $M$ の階数は $n - 1$ 以上である. $n = 1$ のときは $rank M \geq 0 = n - 1$ は自明なので、 $n \geq 2$ とする。 $M$ から第 $n$ 行と第 $n$ 列を除いた小行列を $M^{'}$ とする。与えられた事実から $∣ det M^{'} ∣ = det (K)$ である。 $p$ を法とする還元 $Z \to F_{p}$ は環準同型であり、行列式は成分の整数係数多項式なので、 $det M^{'} = det M^{'}$ である。仮定 $p ∤ det (K)$ より $det M^{'} = \pm det (K) \neq \equiv 0 (mod p)$ なので、 $det M^{'} \neq = 0$ である。よって $M^{'}$ は $F_{p}$ 上の正則行列であり、その $n - 1$ 本の列は一次独立である。これらは $M$ の最初の $n - 1$ 列から第 $n$ 成分を除いたものなので、 $M$ の最初の $n - 1$ 列も一次独立であり、 $rank M \geq n - 1$ である。

(3) 結論. 次元定理より
$dim_{F_{p}} ker M = n - rank M \leq n - (n - 1) = 1.$
$(1)$ と合わせて $dim_{F_{p}} ker M = 1$ である。 $1$ 次元の部分空間が $0$ でないベクトル $1$ を含むので、それは $1$ で張られ、 $ker M = {t 1 ∣ t \in F_{p}}$ である。その元の個数は $p$ である。

以上より、 $p ∤ det (K)$ ならば $D$ の $p$ 彩色は $p$ 個の定値彩色に限り、ちょうど $p$ 個である。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

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