結び目理論の問題

8 の字結び目 $4_1$ の交点数 4 の図式 $D$ は 4 本の弧 $x_1,x_2,x_3,x_4$ と 4 つの交点 $c_1,c_2,c_3,c_4$ をもち、各交点で上を通る弧と、その交点で分断される 2 本の下の弧は次のとおりである。

• $c_1$: 上の弧 $x_1$、下の弧 $x_2,x_3$
• $c_2$: 上の弧 $x_2$、下の弧 $x_3,x_4$
• $c_3$: 上の弧 $x_3$、下の弧 $x_4,x_1$
• $c_4$: 上の弧 $x_4$、下の弧 $x_1,x_2$

$D$ のフォックス 5 彩色とは、各弧 $x_i$ に $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ の元（同じ記号 $x_i$ で表す）を割り当てる方法であって、どの交点でも、上の弧の元を $a$、下の 2 本の弧の元を $b,c$ とするとき $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}5)$ が成り立つものをいう。すべての弧に同じ元を割り当てる自明な彩色も数えるとき、$D$ のフォックス 5 彩色の個数 ${\mathrm{col}}_5(4_1)$ を求めよ。

向き付けられた絡み目 $L$ のコンウェイ多項式 ${\nabla }_L(z)\in \mathbb{Z}[z]$ は、自明な結び目 $O$ に対して ${\nabla }_O(z)=1$ であり、ある交点だけが異なる 3 つの向き付けられた絡み目 $L_{+},L_{-},L_0$（その交点が正の交点、負の交点、向きに沿って交点をなくしたもの）に対してスケイン関係式
$${\nabla }_{L_{+}}(z)-{\nabla }_{L_{-}}(z)=z{\nabla }_{L_0}(z)$$
を満たす不変量である。分離した 2 成分の自明な絡み目の $\nabla$ は $0$ であることを用いてよい。

2 本の紐のブレイド群 $B_2$ の生成元を ${\sigma }_1$（正の交差）とし、自然数 $n\ge 0$ に対して、ブレイド ${\sigma }_1^n$ の閉包（紐はすべて同じ向きに向き付ける）を $L_n$ とする。ただし $L_0$ は分離した 2 成分の自明な絡み目とする。$L_4$ のコンウェイ多項式 ${\nabla }_{L_4}(z)$ を求めよ。

互いに素な整数 $p,q$ で $2\le p<q$ を満たすものに対し、$T(p,q)$ を $(p,q)$ トーラス結び目とする。次の 2 つの事実を用いてよい。

• 自明でないトーラス結び目は、鏡像と向きの違いを同一視すると、上の条件を満たす組 $(p,q)$ によってちょうど 1 通りに $T(p,q)$ と表される。異なる組は異なる結び目を与える。
• (村杉) 交点数について $c(T(p,q))=\min \{p(q-1),q(p-1)\}$ が成り立つ。

鏡像と向きの違いを同一視するとき、交点数 $c(K)$ が $24$ 以下である自明でないトーラス結び目 $K$ の個数を求めよ。

$T(3,7)$ を正の（右手系の）$(3,7)$ トーラス結び目とする。符号数は、正の三葉結び目 $T(2,3)$ の符号数が $-2$ となる規約で定める。

互いに素な $2$ 以上の整数 $p,q$ に対し、$1\le i\le p-1$, $1\le j\le q-1$ を満たす整数の組 $(i,j)$ のうち
$$\frac{1}{2}<\frac{i}{p}+\frac{j}{q}<\frac{3}{2}$$
を満たすものの個数を $N_{\mathrm{in}}$、満たさないものの個数を $N_{\mathrm{out}}$ とすると、この規約のもとで
$$\sigma (T(p,q))=N_{\mathrm{out}}-N_{\mathrm{in}}$$
が成り立つことが知られている。これを用いて、符号数 $\sigma (T(3,7))$ を求めよ。

向き付けられた絡み目 $L$ のジョーンズ多項式 $V_L(t)$ を、自明な結び目 $O$ に対して $V_O(t)=1$、およびスケイン関係式
$$t^{-1}{V}_{L_{+}}(t)-t{V}_{L_{-}}(t)=\left(t^{1/2}-t^{-1/2}\right)V_{L_0}(t)$$
で定め、コンウェイ多項式 ${\nabla }_L(z)$ を ${\nabla }_O(z)=1$ と ${\nabla }_{L_{+}}(z)-{\nabla }_{L_{-}}(z)=z{\nabla }_{L_0}(z)$ で定める。

Rolfsen の表の結び目 $K=7_2$ のコンウェイ多項式は
$${\nabla }_K(z)=1+3z^2$$
である。結び目 $K$ について成り立つ公式 $V_K^{\prime \prime }(1)=-6a_2(K)$（$a_2(K)$ は ${\nabla }_K(z)$ の $z^2$ の係数）を用いて、ジョーンズ多項式の $t=1$ における 2 階微分係数 $V_K^{\prime \prime }(1)$ を求めよ。