結び目理論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学結び目理論

5 本の紐のブレイド群 $B_{5}$ の標準生成元を $σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}, σ_{4}$ とする。 $σ_{i}$ は左から $i$ 番目と $i + 1$ 番目の位置にある紐の交差 1 つで、紐にブレイドの上から下へ進む向きを入れたとき正の交差（符号 $+ 1$ ）になるものとし、 $σ_{i}^{- 1}$ は負の交差（符号 $- 1$ ）とする。ブレイドの語は左の文字から順に、上から下へ積み重ねて読む。

ブレイド
$β = σ_{1}^{2} σ_{2}^{- 1} σ_{3} σ_{4}^{3} σ_{2}^{- 1} σ_{1}^{- 3} σ_{3}^{2} σ_{4}^{- 1}$
の閉包を $L$ とし、 $L$ に紐の向きから定まる向きを入れる。ブレイドの上端で左から $i$ 番目の点を通る $L$ の成分を $L_{i}$ と書く。 $L_{1}, L_{3}, L_{5}$ は互いに異なる成分である。

絡み数の組
$(lk (L_{1}, L_{3}), lk (L_{1}, L_{5}), lk (L_{3}, L_{5}))$
をこの順に求めよ。

この問題で使うもの

ブレイドの置換と閉包の成分数（説明と入口の問題）
絡み数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（24 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

上端の各点から出る紐に名前を付け、語を左から読みながら、各交差でどの 2 本の紐が交わるか・その後どの位置にいるかを表にして追おう。

ヒント 2

閉包の成分はブレイドの置換（下端で紐がどの位置に着くか）の巡回置換に対応する。2 成分の絡み数は、その 2 成分の間の交差の符号の和の半分である。

ヒント 3

紐を $a, b, c, d, e$ とすると、下端の並びは $(d, a, c, b, e)$ となり、成分は ${a, b, d}$ , ${c}$ , ${e}$ の 3 つである。

答えと解説

答えを見る

(- 1, 1, 1)

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解説を読む

上端で左から $1, 2, 3, 4, 5$ 番目の点から出る紐をそれぞれ $a, b, c, d, e$ と名付け、各位置にどの紐があるかを上から順に追う。 $σ_{i}^{\pm 1}$ は位置 $i, i + 1$ にある 2 本の紐の交差で、通過後この 2 本の位置が入れ替わる。

文字	交差する紐と符号	通過後の並び
（最初）		$(a, b, c, d, e)$
$σ_{1}^{2}$	$a, b$ ： $+ 1$ を 2 回	$(a, b, c, d, e)$
$σ_{2}^{- 1}$	$b, c$ ： $- 1$	$(a, c, b, d, e)$
$σ_{3}$	$b, d$ ： $+ 1$	$(a, c, d, b, e)$
$σ_{4}^{3}$	$b, e$ ： $+ 1$ を 3 回	$(a, c, d, e, b)$
$σ_{2}^{- 1}$	$c, d$ ： $- 1$	$(a, d, c, e, b)$
$σ_{1}^{- 3}$	$a, d$ ： $- 1$ を 3 回	$(d, a, c, e, b)$
$σ_{3}^{2}$	$c, e$ ： $+ 1$ を 2 回	$(d, a, c, e, b)$
$σ_{4}^{- 1}$	$e, b$ ： $- 1$	$(d, a, c, b, e)$

成分. 下端で、 $a$ は位置 $2$ 、 $b$ は位置 $4$ 、 $c$ は位置 $3$ 、 $d$ は位置 $1$ 、 $e$ は位置 $5$ に着く。閉包では下端の位置 $j$ が上端の位置 $j$ につながるので
- $a$ （上端 1） $\to$ 位置 2 $\to$ $b$ $\to$ 位置 4 $\to$ $d$ $\to$ 位置 1：成分 $L_{1} = a \cup b \cup d$
- $c$ は位置 3 に戻る：成分 $L_{3} = c$
- $e$ は位置 5 に戻る：成分 $L_{5} = e$

となり、 $L$ は 3 成分で、 $L_{1}, L_{3}, L_{5}$ は確かに異なる。

絡み数. 2 つの成分 $X, Y$ の絡み数は、 $X$ と $Y$ の間の交差の符号の和の $\frac{1}{2}$ である（閉包の図式では、ブレイドの交差以外に交差はない）。
- $L_{1}$ と $L_{3}$ の間： $b, c$ の $- 1$ と $c, d$ の $- 1$ 。和 $- 2$ で $lk (L_{1}, L_{3}) = - 1$ 。
- $L_{1}$ と $L_{5}$ の間： $b, e$ の $+ 3$ と $- 1$ 。和 $2$ で $lk (L_{1}, L_{5}) = 1$ 。
- $L_{3}$ と $L_{5}$ の間： $c, e$ の $+ 2$ 。 $lk (L_{3}, L_{5}) = 1$ 。

（検算: 残りの交差 $a, b$ の $+ 2$ 、 $b, d$ の $+ 1$ 、 $a, d$ の $- 3$ はすべて $L_{1}$ の自己交差で、和は $0$ 。全交差の符号の和は $β$ の指数和 $2 - 1 + 1 + 3 - 1 - 3 + 2 - 1 = 2$ で、 $0 + 2 (- 1 + 1 + 1) = 2$ と一致する。）

答えは $(- 1, 1, 1)$ 。

別解

位置 $1, \dots, 5$ にある紐を、上端での位置の番号で追跡する。初期状態は $[1, 2, 3, 4, 5]$ 。交差のたびに、交差する 2 本の紐と符号を記録し、位置を入れ替える。

1. $σ_{1}^{2}$ : 位置 1,2 の紐 $1, 2$ が 2 回交差( $+ 1$ ずつ、計 $+ 2$ )。偶数回なので変化なし。
2. $σ_{2}^{- 1}$ : 位置 2,3 の紐 $2, 3$ ( $- 1$ )。 $[1, 3, 2, 4, 5]$ 。
3. $σ_{3}$ : 位置 3,4 の紐 $2, 4$ ( $+ 1$ )。 $[1, 3, 4, 2, 5]$ 。
4. $σ_{4}^{3}$ : 位置 4,5 の紐 $2, 5$ が 3 回交差(計 $+ 3$ )。奇数回なので入れ替わり $[1, 3, 4, 5, 2]$ 。
5. $σ_{2}^{- 1}$ : 位置 2,3 の紐 $3, 4$ ( $- 1$ )。 $[1, 4, 3, 5, 2]$ 。
6. $σ_{1}^{- 3}$ : 位置 1,2 の紐 $1, 4$ が 3 回交差(計 $- 3$ )。奇数回で入れ替わり $[4, 1, 3, 5, 2]$ 。
7. $σ_{3}^{2}$ : 位置 3,4 の紐 $3, 5$ が 2 回交差(計 $+ 2$ )。偶数回で変化なし。
8. $σ_{4}^{- 1}$ : 位置 4,5 の紐 $5, 2$ ( $- 1$ )。 $[4, 1, 3, 2, 5]$ 。

成分. 最終的に位置 $1, \dots, 5$ にいる紐は $4, 1, 3, 2, 5$ 。すなわち紐 $1$ は位置 2、紐 $2$ は位置 4、紐 $4$ は位置 1 で終わり、置換は $1 \to 2 \to 4 \to 1$ の 3-サイクルと、固定点 $3$ 、 $5$ 。成分は $L_{1} = {1, 2, 4}$ 、 $L_{3} = {3}$ 、 $L_{5} = {5}$ の 3 つ。

交差の符号和.
- $L_{1}$ と $L_{3}$ : 紐の組 $(2, 3)$ が $- 1$ 、 $(3, 4)$ が $- 1$ で計 $- 2$ 。
- $L_{1}$ と $L_{5}$ : 紐の組 $(2, 5)$ が $+ 3$ と $- 1$ で計 $+ 2$ 。
- $L_{3}$ と $L_{5}$ : 紐の組 $(3, 5)$ が $+ 2$ 。
- (紐 $1, 2$ 、 $2, 4$ 、 $1, 4$ の間の交差は $L_{1}$ 内の自己交差なので数えない。)

絡み数は符号和の半分: $lk (L_{1}, L_{3}) = - 1$ 、 $lk (L_{1}, L_{5}) = 1$ 、 $lk (L_{3}, L_{5}) = 1$ 。

検算: 全交差数 $2 + 1 + 1 + 3 + 1 + 3 + 2 + 1 = 14$ 。成分間交差 $2 + 4 + 2 = 8$ (上の和の絶対的な個数: $L_{1} L_{3}$ に 2 個、 $L_{1} L_{5}$ に $3 + 1 = 4$ 個、 $L_{3} L_{5}$ に 2 個)と自己交差 $2 + 1 + 3 = 6$ (紐 $1, 2$ に 2、 $2, 4$ に 1、 $1, 4$ に 3)の合計 $14$ で一致。

この問題の確認

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