結び目理論の問題

4 本の紐のブレイド群 $B_4$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ とする（${\sigma }_i$ は $i$ 番目の紐と $i+1$ 番目の紐の交差で、閉包の各紐にブレイドの進む向きに沿って向きを入れたとき、符号 $+1$ の交点になるもの）。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_2^2{\sigma }_3^3{\sigma }_2\in B_4$$
の閉包を $\hat{\beta }$ とする。$\hat{\beta }$ は結び目（1 成分）になる。この結び目の種数（$\hat{\beta }$ を境界とする $S^3$ 内の連結で向き付け可能な曲面の種数の最小値）を求めよ。

5 本の紐のブレイド群 $B_5$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4$ とする。${\sigma }_i$ は $i$ 番目の紐と $i+1$ 番目の紐の正の交差 1 つ、${\sigma }_i^{-1}$ は負の交差 1 つを表し、閉包の各紐にはブレイドの進む向き（語を左から右へ読む向き）に沿って向きを入れる。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_2^{-2}{\sigma }_3{\sigma }_4^2{\sigma }_3{\sigma }_2^2$$
の閉包として得られる向き付けられた絡み目を $L=\hat{\beta }$ とする。$L$ の相異なる 2 つの成分 $K_i,K_j$ の絡み数 $\mathrm{lk}(K_i,K_j)$ は、$K_i$ と $K_j$ の間の交差の符号の和の $\frac{1}{2}$ で定める。

$L$ のすべての成分の対 $\{K_i,K_j\}$（$i\ne j$）についての絡み数の和 $\sum _{i<j}\mathrm{lk}(K_i,K_j)$ を求めよ。

3 本の紐のブレイド群 $B_3$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ とする（${\sigma }_i$ は $i$ 番目の紐と $i+1$ 番目の紐の正の交差 1 つを表し、閉包の各紐にはブレイドの進む向きに沿って向きを入れる）。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^5{\sigma }_2^3\in B_3$$
の閉包 $K=\hat{\beta }$ は結び目（1 成分）である。結び目の種数 $g(K)$ を、$S^3$ 内で $K$ を境界とする連結で向き付け可能な曲面の種数の最小値と定める。$g(K)$ を求めよ。ただし、正のブレイドの閉包に対してザイフェルトのアルゴリズムで作った曲面が最小種数を与えるというスターリングスの定理は、引用して用いてよい。

5 本の紐のブレイド群 $B_5$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4$ とする。${\sigma }_i$ は左から $i$ 番目と $i+1$ 番目の位置にある紐の交差 1 つで、紐にブレイドの上から下へ進む向きを入れたとき正の交差（符号 $+1$）になるものとし、${\sigma }_i^{-1}$ は負の交差（符号 $-1$）とする。ブレイドの語は左の文字から順に、上から下へ積み重ねて読む。

ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^2{\sigma }_2^{-1}{\sigma }_3{\sigma }_4^3{\sigma }_2^{-1}{\sigma }_1^{-3}{\sigma }_3^2{\sigma }_4^{-1}$$
の閉包を $L$ とし、$L$ に紐の向きから定まる向きを入れる。ブレイドの上端で左から $i$ 番目の点を通る $L$ の成分を $L_i$ と書く。$L_1,L_3,L_5$ は互いに異なる成分である。

絡み数の組
$$(\mathrm{lk}(L_1,L_3),\mathrm{lk}(L_1,L_5),\mathrm{lk}(L_3,L_5))$$
をこの順に求めよ。

7 本の紐のブレイド群 $B_7$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_6$ とする。${\sigma }_i$ は位置 $i$ にある紐と位置 $i+1$ にある紐の交差 1 つを表し、${\sigma }_i^{-1}$ はその逆向きの交差を表す。ブレイドの語は左から順に（上から下へ）読むものとする。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_2^{-1}{\sigma }_4^2{\sigma }_5{\sigma }_6^{-1}\in B_7$$
の閉包 $\hat{\beta }$ を考える。上端で位置 $5$ から出発する紐が属する $\hat{\beta }$ の成分には、上端でどの位置から出発する紐が含まれるか。その位置の番号の集合を求めよ。