結び目理論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学結び目理論

3 本の紐のブレイド群 $B_{3}$ の標準生成元を $σ_{1}, σ_{2}$ とする。 $σ_{i}$ $(i = 1, 2)$ は、位置 $i$ にある紐と位置 $i + 1$ にある紐の交差 1 つで、閉包にブレイドの進む向き（上から下）の向きを入れたとき正の交差（符号 $+ 1$ ）になるものとし、 $σ_{i}^{- 1}$ は負の交差（符号 $- 1$ ）とする。語は左から順に上から下へ読む。

ブレイド
$β = σ_{1} σ_{2}^{2} σ_{1} σ_{2}^{- 4} σ_{1}^{2}$
の閉包を $L$ とし、各紐にブレイドの進む向きに沿って向きを入れる。 $L$ は 3 成分の絡み目になる。 $j = 1, 2, 3$ に対し、ブレイドの上端で位置 $j$ から出発する紐を含む成分を $K_{j}$ とする。

絡み数 $lk (K_{a}, K_{b})$ を、 $K_{a}$ と $K_{b}$ の間の交差（ $K_{a}$ と $K_{b}$ の一方が上、他方が下を通る交差）の符号の和の $\frac{1}{2}$ と定める。組
$(lk (K_{1}, K_{2}), lk (K_{1}, K_{3}), lk (K_{2}, K_{3}))$
をこの順に求めよ。

この問題で使うもの

ブレイドの置換と閉包の成分数（説明と入口の問題）
絡み数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（24 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

上端で位置 1, 2, 3 にある紐に名前を付け、語を左から読みながら、各交差のあとで紐の並びがどう変わるかを追跡する。

ヒント 2

$σ_{i}^{\pm 1}$ は位置 $i$ と $i + 1$ にある 2 本の紐を入れかえる。交差の符号は $σ_{i}$ なら $+ 1$ 、 $σ_{i}^{- 1}$ なら $- 1$ である。

ヒント 3

最初の $σ_{1}$ のあと並びは $[B, A, C]$ となり、 $σ_{2}^{2}$ は $A$ と $C$ の交差、次の $σ_{1}$ で並びは $[A, B, C]$ に戻る。以後の交差がどの紐どうしのものかを同様に決めて、組ごとに符号を足す。

答えと解説

答えを見る

(2, 1, - 2)

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解説を読む

上端で位置 $1, 2, 3$ から出発する紐をそれぞれ $A, B, C$ とし、語を左から読みながら、各位置にどの紐があるかと、各交差がどの 2 本の紐の間のものかを追跡する。最初の並びは $[A, B, C]$ である。

$σ_{1}$ ：位置 1, 2 の紐 $A, B$ の交差で符号 $+ 1$ 。 $A$ と $B$ が入れかわり、並びは $[B, A, C]$ 。
$σ_{2}^{2}$ ：位置 2, 3 の紐 $A, C$ の交差 2 つで、符号はともに $+ 1$ 。2 回入れかわるので並びは $[B, A, C]$ のまま。
$σ_{1}$ ：位置 1, 2 の紐 $B, A$ の交差で符号 $+ 1$ 。並びは $[A, B, C]$ 。
$σ_{2}^{- 4}$ ：位置 2, 3 の紐 $B, C$ の交差 4 つで、符号はすべて $- 1$ 。偶数回なので並びは $[A, B, C]$ のまま。
$σ_{1}^{2}$ ：位置 1, 2 の紐 $A, B$ の交差 2 つで、符号はともに $+ 1$ 。並びは $[A, B, C]$ 。

下端での並びは $[A, B, C]$ で上端と同じだから、閉包では各紐がそれ自身に戻り、 $K_{1}, K_{2}, K_{3}$ はそれぞれ紐 $A, B, C$ だけからなる。したがって $L$ は 3 成分で、どの交差も異なる成分の間の交差である。

成分の組ごとに符号を合計すると
- $K_{1}$ と $K_{2}$ （ $A$ と $B$ ）: $(+ 1) + (+ 1) + (+ 1) + (+ 1) = 4$
- $K_{1}$ と $K_{3}$ （ $A$ と $C$ ）: $(+ 1) + (+ 1) = 2$
- $K_{2}$ と $K_{3}$ （ $B$ と $C$ ）: $4 \times (- 1) = - 4$

よって
$lk (K_{1}, K_{2}) = \frac{4}{2} = 2, lk (K_{1}, K_{3}) = \frac{2}{2} = 1, lk (K_{2}, K_{3}) = \frac{- 4}{2} = - 2$
であり、求める組は $(2, 1, - 2)$ である。

別解

語を左から順に読み、位置 $1, 2, 3$ にある紐を、上端での位置の番号 $1, 2, 3$ でよぶ。各交差で、交差する 2 本の紐と符号を記録し、交差のたびに 2 本の位置を入れ替える。

初期状態(位置 1,2,3 の順): $[1, 2, 3]$ 。

1. $σ_{1}$ (+): 位置 1,2 の紐 $1, 2$ が交差。符号 $+ 1$ 。入れ替えて $[2, 1, 3]$ 。
2. $σ_{2}$ (+): 位置 2,3 の紐 $1, 3$ 。符号 $+ 1$ 。 $[2, 3, 1]$ 。
3. $σ_{2}$ (+): 位置 2,3 の紐 $3, 1$ 。符号 $+ 1$ 。 $[2, 1, 3]$ 。
4. $σ_{1}$ (+): 位置 1,2 の紐 $2, 1$ 。符号 $+ 1$ 。 $[1, 2, 3]$ 。
5〜8. $σ_{2}^{- 1}$ を 4 回: 毎回位置 2,3 の紐 $2, 3$ が交差し、符号 $- 1$ 。4 回の入れ替えで $[1, 2, 3]$ に戻る。
9〜10. $σ_{1}$ を 2 回: 毎回紐 $1, 2$ が交差し符号 $+ 1$ 。 $[1, 2, 3]$ のまま。

最終的に各紐は元の位置に戻る(置換は恒等)ので、閉包は 3 成分で、 $K_{j}$ は紐 $j$ からなる。

成分間の交差の符号和:
- $K_{1}, K_{2}$ : 手順 1, 4, 9, 10 より $1 + 1 + 1 + 1 = 4$ 。
- $K_{1}, K_{3}$ : 手順 2, 3 より $1 + 1 = 2$ 。
- $K_{2}, K_{3}$ : 手順 5〜8 より $- 4$ 。

絡み数はその $\frac{1}{2}$ なので、 $lk (K_{1}, K_{2}) = 2$ , $lk (K_{1}, K_{3}) = 1$ , $lk (K_{2}, K_{3}) = - 2$ 。

検算: 総交差数のうち成分間の交差は $4 + 2 + 4 = 10$ で、語の長さ $1 + 2 + 1 + 4 + 2 = 10$ と一致し、自己交差はない。

この問題の確認

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