線形代数の問題

手順 1：固有値を求める。
$$\det (A-\lambda E)=\left|\begin{array}{cc}2-\lambda & 2\\ 2& 5-\lambda \end{array}\right|=(2-\lambda )(5-\lambda )-4={\lambda }^2-7\lambda +6=(\lambda -1)(\lambda -6).$$
よって固有値は $6,1$ で、${\lambda }_1>{\lambda }_2$ より ${\lambda }_1=6,{\lambda }_2=1$ です。

手順 2：各固有値の固有ベクトルを求め、大きさ 1 にする。
- $\lambda =6$：$A-6E=\left(\begin{array}{cc}-4& 2\\ 2& -1\end{array}\right)$ より $-4x+2y=0$、すなわち $y=2x$。固有ベクトルは $(1,2)$ の実数倍で、大きさは $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ なので、単位固有ベクトルは $\pm \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$。
- $\lambda =1$：$A-E=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$ より $x+2y=0$。単位固有ベクトルは $\pm \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)$。

実対称行列なので、異なる固有値の固有ベクトルは直交します。実際 $(1,2)\cdot (-2,1)=-2+2=0$ です。

手順 3：直交行列 $P$ を組み立てる。
${}^{t}PAP=\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ となるには、$P$ の第 1 列が固有値 $6$ の単位固有ベクトル、第 2 列が固有値 $1$ の単位固有ベクトルでなければなりません（$AP=P\mathrm{diag}(6,1)$ を列ごとに見る）。
$P$ の第 1 列は $(\cos \theta ,\sin \theta )$ で、$0<\theta <\frac{\pi }{2}$ より両成分とも正なので、
$$\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right).$$
このとき第 2 列は $(-\sin \theta ,\cos \theta )=\frac{1}{\sqrt{5}}(-2,1)$ となり、確かに固有値 $1$ の単位固有ベクトルです。

確認： $P=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right)$ について $AP=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}6& -2\\ 12& 1\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$、${}^{t}P=P^{-1}$ より ${}^{t}PAP=\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$。

したがって
$$(\cos \theta ,\sin \theta )=\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5}\right).$$

固有多項式は $(2-\lambda )(5-\lambda )-4={\lambda }^2-7\lambda +6=(\lambda -1)(\lambda -6)$ なので、固有値は $6,1$。${\lambda }_1>{\lambda }_2$ より ${\lambda }_1=6,{\lambda }_2=1$。

${}^{t}PAP$ の第1列に対応する $P$ の第1列 $(\cos \theta ,\sin \theta {)}^t$ は ${\lambda }_1=6$ の固有ベクトルである。
$(A-6E)v=0$ より $-4x+2y=0$、すなわち $y=2x$。よって $v\propto (1,2)$。

$0<\theta <\pi /2$ より $\cos \theta >0,\sin \theta >0$ なので、単位ベクトルは $(1/\sqrt{5},2/\sqrt{5})$。

検算：$A(1,2{)}^t=(2+4,2+10{)}^t=(6,12{)}^t=6(1,2{)}^t$ で正しい。第2列は $(-\sin \theta ,\cos \theta )=(-2/\sqrt{5},1/\sqrt{5})$ で、$A$ を掛けると $(-4+2,-4+5)/\sqrt{5}=(-2,1)/\sqrt{5}$ となり固有値 1 に対応する。よって ${}^{t}PAP=\mathrm{diag}(6,1)$ となり条件を満たす。