線形代数の問題

固有値 特性多項式を求める。トレースは $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{4}{3}$ である。2 次の主小行列式の和は
$$\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}-0\right)+\left(\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$$
である。行列式は $\det A=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}-0\right)=-\frac{1}{12}$ である。よって
$$\det (\lambda E-A)={\lambda }^3-\frac{4}{3}{\lambda }^2+\frac{1}{4}\lambda +\frac{1}{12}=(\lambda -1)\left(\lambda -\frac{1}{2}\right)\left(\lambda +\frac{1}{6}\right)$$
となる。固有値は $1,\frac{1}{2},-\frac{1}{6}$ で、すべて異なるので $A$ は対角化可能である。

固有ベクトル 各行の和が $1$ なので $A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ が成り立つ。$A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1/2\\ 0\\ -1/2\end{array}\right)$ なので、$\frac{1}{2}$ に対する固有ベクトルは $(1,0,-1{)}^T$ である。$-\frac{1}{6}$ に対しては $(a,b,a{)}^T$ の形を仮定すると、第 1 成分の条件 $\frac{a}{2}+\frac{b}{2}=-\frac{a}{6}$ から $b=-\frac{4}{3}a$ となる。よって固有ベクトルは $(3,-4,3{)}^T$ である（第 2 成分も $\frac{2}{3}a+\frac{1}{3}b=\frac{2}{3}=-\frac{1}{6}\cdot (-4)$ で成り立つ）。

対角化
$$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& 0& -4\\ 1& -1& 3\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& -\frac{1}{6}\end{array}\right)$$
とおくと $A=PD{P}^{-1}$ である。$P^{-1}$ を計算すると
$$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{2}{7}& \frac{3}{7}& \frac{2}{7}\\ \frac{1}{2}& 0& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{14}& -\frac{1}{7}& \frac{1}{14}\end{array}\right)$$
となる（$P{P}^{-1}=E$ が確かめられる）。

$a_n$ の式 $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$ の $(1,3)$ 成分は
$$a_n=1\cdot 1^n\cdot \frac{2}{7}+1\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+3\cdot {\left(-\frac{1}{6}\right)}^n\cdot \frac{1}{14}=\frac{2}{7}-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}+\frac{3}{14}{\left(-\frac{1}{6}\right)}^n$$
である。検算すると、$n=1$ で $\frac{2}{7}-\frac{1}{4}-\frac{1}{28}=0=A_{13}$、$n=2$ で $\frac{2}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{168}=\frac{1}{6}$ となり、どちらも直接計算した値と一致する。

級数の和 $\left|\frac{1}{2}\right|<1$、$\left|-\frac{1}{6}\right|<1$ なので $\alpha =\frac{2}{7}$ である。
$$\sum _{n=1}^{\infty }(a_n-\alpha )=-\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n+\frac{3}{14}\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-\frac{1}{6}\right)}^n$$
ここで ${\sum }_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=1$、${\sum }_{n=1}^{\infty }{\left(-\frac{1}{6}\right)}^n=\frac{-1/6}{1+1/6}=-\frac{1}{7}$ である。したがって
$$\sum _{n=1}^{\infty }(a_n-\alpha )=-\frac{1}{2}-\frac{3}{98}=-\frac{49}{98}-\frac{3}{98}=-\frac{52}{98}=-\frac{26}{49}$$
となる。

$A$ の各行の和は 1 なので $A$ は確率行列である。$\pi A=\pi$ を解くと定常分布は $\pi =(2/7,3/7,2/7)$ となる。$A^n\to \Pi$（各行が $\pi$ の行列）なので $\alpha =2/7$ である。

求める和は、${\sum }_{n\ge 1}(A^n-\Pi )$ の $(1,3)$ 成分である。$\Pi A=A\Pi ={\Pi }^2=\Pi$ より $(A-\Pi {)}^n=A^n-\Pi$（$n\ge 1$）が成り立つ。$A-\Pi$ のスペクトル半径は 1 未満なので、
$$\sum _{n\ge 0}(A-\Pi {)}^n=(I-A+\Pi {)}^{-1}=Z.$$
ここから $n=0$ の項 $I$ を除くと、求める行列は $Z-I$ であり、$(1,3)$ 成分は $Z_{13}$ である。

$M=I-A+\Pi$ を計算すると
$$42M=N=\left(\begin{array}{ccc}33& -3& 12\\ -2& 46& -2\\ 12& -3& 33\end{array}\right).$$
$\det N=33\cdot 1512-126-6552=43218$ である。
$(N^{-1}{)}_{13}=C_{31}/\det N$ で、$C_{31}=\det \left(\begin{array}{cc}-3& 12\\ 46& -2\end{array}\right)=6-552=-546$ である。
したがって $Z_{13}=42\cdot (-546)/43218=-22932/43218=-26/49$。

検算として、$a_1-\alpha =-2/7\approx -0.286$、$a_2-\alpha =1/6-2/7\approx -0.119$、$a_3-\alpha =2/9-2/7\approx -0.063$ で、部分和は約 $-0.468$ となる。残りの項も負で急速に小さくなるので、$-26/49\approx -0.531$ に収束することと矛盾しない。