線形代数の問題

方針 対称行列の直交対角化を行う。固有値を求め、各固有値の固有ベクトルを長さ $1$ にして並べると直交行列 $P$ ができる。${}^{t}PAP=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ となるには、$P$ の第 1 列が固有値 $5$、第 2 列が固有値 $1$ の長さ $1$ の固有ベクトルでなければならない。

1. 固有値 特性多項式は
$$\det (A-\lambda E)=(4-\lambda )(2-\lambda )-(\sqrt{3}{)}^2={\lambda }^2-6\lambda +5=(\lambda -5)(\lambda -1)$$
なので、固有値は $\lambda =5,1$ である。

2. 固有ベクトル $\lambda =5$ のとき
$$A-5E=\left(\begin{array}{cc}-1& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -3\end{array}\right)$$
より $-x+\sqrt{3}y=0$、つまり $x=\sqrt{3}y$。長さ $1$ の固有ベクトルは $\pm \left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right)$。

$\lambda =1$ のとき
$$A-E=\left(\begin{array}{cc}3& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right)$$
より $\sqrt{3}x+y=0$、つまり $y=-\sqrt{3}x$。長さ $1$ の固有ベクトルは $\pm \left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)$。

（対称行列なので、異なる固有値の固有ベクトルは直交している。実際、内積は $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=0$。）

3. $P$ の形に合わせる $P$ の第 1 列 $\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)$ は固有値 $5$ の長さ $1$ の固有ベクトルなので
$$(\cos \theta ,\sin \theta )=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)\text{または}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right).$$
$0\le \theta <\pi$ では $\sin \theta \ge 0$ なので前者であり、$\theta =\frac{\pi }{6}$。

このとき第 2 列は $\left(\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)$ で、これは固有値 $1$ の長さ $1$ の固有ベクトルになっている。$P$ は直交行列なので ${}^{t}P=P^{-1}$ であり、${}^{t}PAP=P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ が確かに成り立つ。

よって $\theta =\frac{\pi }{6}$。

${}^{t}PAP=\mathrm{diag}(5,1)$ なので、$AP=P\mathrm{diag}(5,1)$ である。したがって $P$ の第1列 $(\cos \theta ,\sin \theta {)}^t$ は固有値 5 の固有ベクトル、第2列 $(-\sin \theta ,\cos \theta {)}^t$ は固有値 1 の固有ベクトルである。

まず固有値を確かめる。トレースは 6、行列式は $8-3=5$ だから、固有値は 5 と 1 である。

固有値 5 について $(A-5I)v=0$ を解く。$A-5I=\left(\begin{array}{cc}-1& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -3\end{array}\right)$ より $-v_1+\sqrt{3}{v}_2=0$、すなわち $v_1=\sqrt{3}{v}_2$ である。

よって $\tan \theta =1/\sqrt{3}$ である。$0\le \theta <\pi$ の範囲では $\theta =\pi /6$ のみである（$\theta =7\pi /6$ は範囲外）。

検算：$\theta =\pi /6$ のとき第1列は $(\sqrt{3}/2,1/2)$ で、
$A(\sqrt{3}/2,1/2{)}^t=(2\sqrt{3}+\sqrt{3}/2,3/2+1)=(5\sqrt{3}/2,5/2)=5(\sqrt{3}/2,1/2)$ となり、固有値 5 を満たす。
第2列は $(-1/2,\sqrt{3}/2)$ で、
$A(-1/2,\sqrt{3}/2{)}^t=(-2+3/2,-\sqrt{3}/2+\sqrt{3})=(-1/2,\sqrt{3}/2)$ となり、固有値 1 を満たす。

ゆえに $\theta =\pi /6$ である。